Conferma su un problema trigonometrico

[gianluca448]

è dato un triangolo rettangolo ABC con il cateto AC lungo $ l $ ed il cateto AB lungo $ 2l $. Si conduce per il vertice A una retta r che non interseca il triangolo e forma con il lato AC un angolo variabile . Si indichino con M ed N le proiezioni ortogonali di B e C su tale retta. Determinare l'ampiezza dell'angolo CAN in modo che l'area del trapezio BMNC valga $ Kl^2 $ .
Risolvere il problema per $ K= 1+5/8sqrt(3) $



Io mi sarei trovato i vari segmenti utili per determinare l'area del trapezio:

AN = ACcosx = l cosx
NC= AC sen x = l senx
AM= AB senx = 2l senx
BM = AB cosx = 2l cosx
MN = AM+AN = l cosx + 2l senx

AREA = $ ((BM+CN)MN)/2 $ = $ Kl^2 $

A questo punto mi viene

$ (2l^2cos^x +4l^2senxcosx+ l^2senxcos + 2l^2sen^2x)/2=Kl^2 $

$ (2l^2cos^2 +5l^2senxcosx 2l^2sen^2x)=2Kl^2 $

Ho moltiplicato poi il secondo membro per ( $ sen^2x+cos^2x $ )
Dopodiche ho diviso tutto per $ cos^2x $
E mi viene questa espressione
$ tg^2x(2-2K) +5tgx +2-2K $

Mi sono trovato prima i valori di K

Poi sono andato a sostituire il K che mi da il testo e mi vengono due soluzione, una per il quale l'angolo CAN è di 60° e l'altro di 30°.

Volevo chiedere una conferma sulla corretta procedura, se è possibile che per un K vengono due angoli diversi?

Grazie

[mazzarri1]

ciao Gianluca!

mi sembra tutto corretto purtroppo fino a un certo punto... all'inizio tutto bene, ottimo metodo, bravo... ma ti sei perso nei calcoli alla seconda riga mi sembra che ti sei scordato un segno "+" e che sarebbe

$2l^2cos^2x+5l^2sinxcosx+2l^2sin^2x=2Kl^2$

cioè molto semplicemente raccogliendo $l^2$ e ricordando che $sin^2x+cos^2x=1$ avresti

$l^2 (5sinxcosx+2)=2Kl^2$

cioè

$5sinxcosx+2=2K$

$5sinxcosx=2K-2=2+10/8sqrt3-2=5/4sqrt3$

da cui

$sinxcosx=1/4sqrt3$

cioè

$2sinxcosx=1/2sqrt3$

$sin2x=1/2sqrt3$

e ora finisci tu... spero di non aver scritto cavolate ciao!

[chiaraotta1]

Trovo che l'area si possa esprimere anche come
$S_(BMNC)=l^2(5/4sen(2x)+1)$, con $0<=x<=pi/2$.
Per cui, da
$S_(BMNC)=kl^2$
si ottiene
$sen(2x)=4/5(k-1)$, con $0<=x<=pi/2$.
Perciò si hanno due soluzioni con
$0<=4/5(k-1)<=1$
e
$1<=k<=9/4$.
Per
$k=1+5/8 sqrt(3)$
si ha
$sen(2x)=4/5(1+5/8 sqrt(3)-1)=sqrt(3)/2$, con $0<=x<=pi/2$.
Da cui
$2x=pi/3 vv 2x=2/3pi$
e
$x=pi/6 vv x=pi/3$.

[gianluca448]

Gli angoli vengono anche a me $ pi /6 $ e $ pi /3 $

I valori di k invece sono $ 9/4 $ e $ -1/4 $

[mazzarri1]

"gianluca448":Gli angoli vengono anche a me $ pi /6 $ e $ pi /3 $

I valori di k invece sono $ 9/4 $ e $ -1/4 $

ma in che senso? il valore di K lo hai scritto sopra, era $1+5/8sqrt3$... se lo modifichi cambia tutto.

Hai visto i nostri post precedenti? ti sei reso conto dell'errore che stavi facendo?

[gianluca448]

Il "+" che mancava è stato solo un errore nello scriverlo qui sul forum, ma nel calcolo poi ho fatto correttamente.

Alla fine si sostituisco il K che mi da il testo, ma pensavo che prima di calcolarmelo con quel valore, procedo a fare il delta dell'equazione con il K ancora come incognita. Non so se sono stato chiaro

[chiaraotta1]

"gianluca448":....
I valori di k invece sono $ 9/4 $ e $ -1/4 $

I valori di $k$ per cui succede cosa? In ogni caso non può essere $k=-1/4<0$ perché l'area è uguale a $kl^2$ e ovviamente non può essere $<0$.

[gianluca448]

Forse ho fatto un passaggio un più, ovvero non dovevo trovare i valori di k.
Pensavo che nel caso di problemi parametrici, come questo, devi solo individuare per quali valori di k il problema ammette soluzioni. Poi devi risolverlo con k dato dal testo.

[mazzarri1]

"gianluca448":è dato un triangolo rettangolo ABC con il cateto AC lungo $ l $ ed il cateto AB lungo $ 2l $. Si conduce per il vertice A una retta r che non interseca il triangolo e forma con il lato AC un angolo variabile . Si indichino con M ed N le proiezioni ortogonali di B e C su tale retta. Determinare l'ampiezza dell'angolo CAN in modo che l'area del trapezio BMNC valga $ Kl^2 $ .
Risolvere il problema per $ K= 1+5/8sqrt(3) $

Questo era il tuo testo. Questo dovevi fare.
Poi per cusiosità scientifica puoi anche andare oltre e vedere che cosa succede per differenti valori di K. Ma in tal caso variano le soluzioni, cioè i valori possibili dell'angolo CAN.
Se guardi il posto mio (ti suggerisco ancora di riguardarlo perchè a parte la svista del segno + il resto della risoluzione è del tutto differente dalla tua) o di Chiaraotta a un certo punto scrivo

$5sinxcosx=2K-2$

Quindi l'angolo-soluzione $x$ dipende da K... cambi K e variano le soluzioni
Puoi per curiosità scientifica cercare quali valori di K portano un angolo tra 0 e 90 gradi per esempio

[gianluca448]

Scusate se vi rimando a quest'altro problema sempre da me avanzato, ma mi sembrano simili nelle richieste, e in questo problema precedentemente mi era stato suggerito di agire in tal modo.
Alzo le mani perchè può darsi che sbaglio, ma ormai ho questo dubbio, scusate ancora

viewtopic.php?f=11&t=149831

[mazzarri1]

Gianluca... non alzare le mani, nessuno ti spara

ti riporto tra virgolette quanto detto dalla grande @Melia

"Nel caso di problemi parametrici, come questo, devi solo individuare per quali valori di k il problema ammette soluzioni.
Poi devi risolverlo con k=3, che è la seconda domanda."

Significa, tradotto... porta fino alla fine K ed esprimi la soluzione con K nella soluzione e , magari, se riesci, prova a dire per quale range di K il problema ammette soluzioni
Poi, in un secondo momento, sostituisci a K il valore che tisuggerisce il libro e vedi quanto viene il valore numerico particolare

Quindi... esprimi la soluzione con K così hai una soluzione generica) poi sostituisci il K che ti fornisce il testo e vedi LA soluzione particolare

in QUESTO problema se vuoi fai lo stesso... prova a dare la soluzione in funzione di K... prendila da dove ti avevo suggerito io

$5sinxcosx=2K−2$

e vai avanti lasciando K indicato... vedi che cosa ti viene... fin dove riesci a d arrivare ovviamente... poi all'ultimo sostituisci il K del libro e fornisci LA soluzione finale

ok?

[@melia]

Poi, nel caso di problemi parametrici, si può fare anche la discussione vera e propria. Sarebbe carino capire a che cosa ti servono questi problemi.