Condizione di realtà dell'ellisse

[Lucrezio1]

Salve a tutti!
Ho l'equazione $(k+5)x^2-ky^2+x-y+5=0$. Devo dire per quali valori di k l'equazione rappresenta un'ellisse .
Io ho risposto per $-5

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Risposte

Sk_Anonymous

27 set 2011, 15:35

Essendo traslata, prova a completare i quadrati, anche se è un po' noioso:

$(k+5)[x^2+x/(k+5)+1/(4(k+5)^2)-1/(4(k+5)^2)]-k[y^2+y/k+1/(4k^2)-1/(4k^2)]+5=0$

$(k+5)(x+1/(2(k+5)))^2-k(y+1/(2k))^2=1/(4(k+5))-1/(4k)-5$

$\{(k+5>0),(-k>0),(1/(4(k+5))-1/(4k)-5>0):} vv \{(k+5<0),(-k<0),(1/(4(k+5))-1/(4k)-5<0):}$

Per fortuna, almeno il 2° sistema (basta considerare le prime $2$ disequazioni) non ammette soluzioni. Non ti rimane che risolvere il primo, in particolare la terza disequazione, quella che hai chiamato condizione di realtà. Se sei furbo, puoi evitare di discutere il denominatore, visto che devono comunque valere le prime $2$ disequazioni.

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Lucrezio1

27 set 2011, 16:10

Che significa completare i quadrati??

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Gi81

27 set 2011, 16:14

Guarda qui

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Lucrezio1

27 set 2011, 16:17

Devo impararmi tutte quelle formulette?

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Gi81

27 set 2011, 16:24

basta capirle
E' il metodo che si usa , tra l'altro,
per spiegare perchè l'equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ ha come soluzioni
$x= (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$, (se, ovviamente, $b^2-4ac>=0$)

Non hai fatto questa dimostrazione in prima/seconda superiore?

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Lucrezio1

27 set 2011, 16:31

Sì l'ho fatta in seconda liceo, ma ho vaghissimi ricordi, ma moooolto vaghi

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Gi81

27 set 2011, 16:38

Semplificando molto, se hai $ax^2+bx+c$ , manipolando un po' arrivi ad avere $a( x+b/(2a) )^2 +c - b^2/(4a)$

infatti $ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x)+c= a[x^2+b/a x+ (b/(2a))^2 -(b/(2a))^2]+c= a(x^2+b/a x+ (b/(2a))^2)+ c-b^2/(4a)=a( x+b/(2a) )^2 +c - b^2/(4a)$

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[Sk_Anonymous]

Essendo traslata, prova a completare i quadrati, anche se è un po' noioso:

$(k+5)[x^2+x/(k+5)+1/(4(k+5)^2)-1/(4(k+5)^2)]-k[y^2+y/k+1/(4k^2)-1/(4k^2)]+5=0$

$(k+5)(x+1/(2(k+5)))^2-k(y+1/(2k))^2=1/(4(k+5))-1/(4k)-5$

$\{(k+5>0),(-k>0),(1/(4(k+5))-1/(4k)-5>0):} vv \{(k+5<0),(-k<0),(1/(4(k+5))-1/(4k)-5<0):}$

Per fortuna, almeno il 2° sistema (basta considerare le prime $2$ disequazioni) non ammette soluzioni. Non ti rimane che risolvere il primo, in particolare la terza disequazione, quella che hai chiamato condizione di realtà. Se sei furbo, puoi evitare di discutere il denominatore, visto che devono comunque valere le prime $2$ disequazioni.

[Lucrezio1]

Che significa completare i quadrati??

[Gi81]

Guarda qui

[Lucrezio1]

Devo impararmi tutte quelle formulette?

[Gi81]

basta capirle
E' il metodo che si usa , tra l'altro,
per spiegare perchè l'equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ ha come soluzioni
$x= (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$, (se, ovviamente, $b^2-4ac>=0$)

Non hai fatto questa dimostrazione in prima/seconda superiore?

[Lucrezio1]

Sì l'ho fatta in seconda liceo, ma ho vaghissimi ricordi, ma moooolto vaghi

[Gi81]

Semplificando molto, se hai $ax^2+bx+c$ , manipolando un po' arrivi ad avere $a( x+b/(2a) )^2 +c - b^2/(4a)$

infatti $ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x)+c= a[x^2+b/a x+ (b/(2a))^2 -(b/(2a))^2]+c= a(x^2+b/a x+ (b/(2a))^2)+ c-b^2/(4a)=a( x+b/(2a) )^2 +c - b^2/(4a)$