Condizione concordanza segni
Ciao a tutti 
vorrei gentilmente chiedere un aiuto sulla condizione di concordanza dei segni per le disequazioni. Ho infatti capito come funziona per le equazioni e che devo introdurre la concordanza perche avendo due numeri che al quadratosono uguali potrebbero essere opposti oltre che uguali, se impondo che abbiano lo stesso segno escludo lasoluzione in piu.
Ma se io ho sqrt(f(x)>g(x) noto che non si parla di concordanza nel sistema che si crea studiando i diversi casi, mi chiedo se questo sia dovuto al fatto che nel sistema compare esplicitamente già che g(x)>0 e quindi non si accenna alla concordanza perché ho già questa condizione dovuta allo studio. Però formalmente servirebbe giusto? perche anche qui mi pare che elevando introdurrei delle soluzioni altrimenti o sbaglio?
Grazie
vorrei gentilmente chiedere un aiuto sulla condizione di concordanza dei segni per le disequazioni. Ho infatti capito come funziona per le equazioni e che devo introdurre la concordanza perche avendo due numeri che al quadratosono uguali potrebbero essere opposti oltre che uguali, se impondo che abbiano lo stesso segno escludo lasoluzione in piu.
Ma se io ho sqrt(f(x)>g(x) noto che non si parla di concordanza nel sistema che si crea studiando i diversi casi, mi chiedo se questo sia dovuto al fatto che nel sistema compare esplicitamente già che g(x)>0 e quindi non si accenna alla concordanza perché ho già questa condizione dovuta allo studio. Però formalmente servirebbe giusto? perche anche qui mi pare che elevando introdurrei delle soluzioni altrimenti o sbaglio?
Grazie
Risposte
Allego le argomentazioni sottostanti:
Innanzitutto grazie per la risposta.
Esattamente, sono le condizioni cui mi riferivo. Però c'è un fatto che non riesco a capire.
Nelle equazioni sono costretto a scrivere data l'irrazionale $sqrt(f(x))=g(x)$ la così detta "concordanza" $g(x)>=0$ e serve per impedire di introdurre soluzioni elevando al quadrato.Questo perché la radice è per convenzione positiva ma la soluzione diuna equazione con potenza positiva porta a soluzione sia per il caso positivoche negativo. In poche parole se ho $sqrta=b$ quando scrivo $a=b^2$ mi accorgo che tornanro indietro è verificata sia per $b=+-sqrta$ insomma questo testimonia che avrei introdotto una soluzione elevando impunemente. Imponendo la concordanza, invece, b>0 intervengo limitado il caso al solo positivo e tutto torna: l'elevamento a potenza positiva è legale
Ecco, ma questa cosa non c'è nelle disequazioni, io in realtà introduco $g(x)>=0$ o $g(x)<0$ a prescindere dalla considerazione che elevando a quadrato introduco soluzioni.In realtà $g(x)>=0$ e $g(x)<0$ servono solo a studiare il caso in cui ho membro destro positivo o negativo perché nel caso negativo di esso sicuramente la disequazione èverificata poiché la radicecomesottolinei è sempre positiva.
Però insomma io elevo al quadrato quando ho $g(x)>=0$ portandomi a f(x)>g^2(x) ma per quale motivo qui, al contrario delle equazioni, elevando a quadrato non introduco soluzioni? Infatti non aggiungo concordanze dei segni
questa cosa non mi è chiara. E' qui il dubbio!
grazie ancora.
Esattamente, sono le condizioni cui mi riferivo. Però c'è un fatto che non riesco a capire.
Nelle equazioni sono costretto a scrivere data l'irrazionale $sqrt(f(x))=g(x)$ la così detta "concordanza" $g(x)>=0$ e serve per impedire di introdurre soluzioni elevando al quadrato.Questo perché la radice è per convenzione positiva ma la soluzione diuna equazione con potenza positiva porta a soluzione sia per il caso positivoche negativo. In poche parole se ho $sqrta=b$ quando scrivo $a=b^2$ mi accorgo che tornanro indietro è verificata sia per $b=+-sqrta$ insomma questo testimonia che avrei introdotto una soluzione elevando impunemente. Imponendo la concordanza, invece, b>0 intervengo limitado il caso al solo positivo e tutto torna: l'elevamento a potenza positiva è legale
Ecco, ma questa cosa non c'è nelle disequazioni, io in realtà introduco $g(x)>=0$ o $g(x)<0$ a prescindere dalla considerazione che elevando a quadrato introduco soluzioni.In realtà $g(x)>=0$ e $g(x)<0$ servono solo a studiare il caso in cui ho membro destro positivo o negativo perché nel caso negativo di esso sicuramente la disequazione èverificata poiché la radicecomesottolinei è sempre positiva.
Però insomma io elevo al quadrato quando ho $g(x)>=0$ portandomi a f(x)>g^2(x) ma per quale motivo qui, al contrario delle equazioni, elevando a quadrato non introduco soluzioni? Infatti non aggiungo concordanze dei segni
questa cosa non mi è chiara. E' qui il dubbio!grazie ancora.
L'ultima riga di quel testo risponde al tuo dubbio.
Non ho capito devi scusarmi. Non riesco a trovarne il legame con quanto dico
devi scusarmi. Non riesco a trovarne il legame con quanto dico
Dato che è sempre vero che $(g(x))^2>=0$ allora quando è vero che $f(x)>=(g(x))^2$ abbiamo come conseguenza che $f(x)>=0$ quindi diventa inutile risolvere pure quest'ultima, basta la penultima 
Ah ok oraho capito cosa intendevi. E ho capito perché non ci eravamo capiti. In realtà quello che dici mi è chiaro paradossalmente, però mi devo essere spiegato male perché il dubbio non risiede lì, quanto piuttosto al confronto con le equazioni che come dicevo nel mio secondo post ho chiaro perché vada introdotta la condizione di concordanza $g(x)>=0$. Quello su cui mi sono inchiodato sulle disequazione è invece: perché anche se elevo a quadrato per risolvere la disequazione non introduco soluzioni ,emntre nelle equazioni si e infatti vado a porre la concordanza?
"massimino's":
Quello su cui mi sono inchiodato sulle disequazione è invece: perché anche se elevo a quadrato per risolvere la disequazione non introduco soluzioni ,emntre nelle equazioni si e infatti vado a porre la concordanza?
Io non so se ho capito il tuo dubbio ma, sperando di sì, ti faccio notare che non stai risolvendo UNA disequazione ma un SISTEMA di disequazioni ovvero non ti limiti a trovare le soluzioni di $f(x)>=(g(x))^2$ ma quelle che oltre a soddisfare questa devono soddisfare anche contemporaneamente quest'altra $g(x)>=0$ e quindi eliminando le eventuali soluzioni di $f(x)>=(g(x))^2$ che nascono da $g(x)<0$.
Cordialmente, Alex
@ massimino's: Visto che sono abbastanza refrattario a "formulette magiche" tipo impongo la concordanza, ti spiacerebbe fare un esempio di un esercizio che non capisci in parallelo con un'equazione?
Vorrei vedere come risolvi i due tipi di problemi.
Grazie.
Vorrei vedere come risolvi i due tipi di problemi.
Grazie.
@gugo82
Grazie anche a te per l'intervento
Ti dirò in realtà non ho un vero e proprio esercizio guida, nel senso che ogni volta li risolvo ragionando sul dato esercizio e quindi non ne ho uno che non so fare. Ma mi è sorto più che altro il dubbio teorico da questa considerazione:
E mi son detto: perché diamine nelle equazioni si e nelle disequazioni no? Dove sto già considerando la "concordanza" (cioè il non introdurre soluzioni purr quadrando la disequazione) senza che mi accorga?
Io non so se ho capito il tuo dubbio ma, sperando di sì, ti faccio notare che non stai risolvendo UNA disequazione ma un SISTEMA di disequazioni ovvero non ti limiti a trovare le soluzioni di $f(x)>=(g(x))^2$ ma quelle che oltre a soddisfare questa devono soddisfare anche contemporaneamente quest'altra $g(x)>=0$ e quindi eliminando le eventuali soluzioni di $f(x)>=(g(x))^2$ che nascono da $g(x)<0$.
Cordialmente, Alex[/quote]
Grazie ancora Alex.
Credo in effetti la risposta sia questa.
Siete davvero tutti molto gentili, sono contento di aver scoperto il forum
Grazie anche a te per l'intervento
Ti dirò in realtà non ho un vero e proprio esercizio guida, nel senso che ogni volta li risolvo ragionando sul dato esercizio e quindi non ne ho uno che non so fare. Ma mi è sorto più che altro il dubbio teorico da questa considerazione:
Nelle equazioni sono costretto a scrivere data l'irrazionale $sqrt(f(x))=g(x)$ la così detta "concordanza" $g(x)>=0$ e serve per impedire di introdurre soluzioni elevando al quadrato. Questo perché la radice è per convenzione positiva ma la soluzione di una equazione con potenza positiva porta a soluzione sia per il caso positivo che negativo. In poche parole, se ho $sqrta=b$ quando scrivo $a=b^2$ mi accorgo che tornando indietro (ossia risolvendo pet tutti i valori che rendono vera la mia nuova equazione) è verificata per due valori $b=+-sqrta$ insomma questo testimonia che avrei introdotto una soluzione elevando impunemente. Imponendo la concordanza, invece, $b>=0$ intervengo limitado il caso al solo positivo e tutto torna: l'elevamento a potenza positiva è legale
E mi son detto: perché diamine nelle equazioni si e nelle disequazioni no? Dove sto già considerando la "concordanza" (cioè il non introdurre soluzioni purr quadrando la disequazione) senza che mi accorga?
"axpgn":
[quote="massimino's"] Quello su cui mi sono inchiodato sulle disequazione è invece: perché anche se elevo a quadrato per risolvere la disequazione non introduco soluzioni ,emntre nelle equazioni si e infatti vado a porre la concordanza?
Io non so se ho capito il tuo dubbio ma, sperando di sì, ti faccio notare che non stai risolvendo UNA disequazione ma un SISTEMA di disequazioni ovvero non ti limiti a trovare le soluzioni di $f(x)>=(g(x))^2$ ma quelle che oltre a soddisfare questa devono soddisfare anche contemporaneamente quest'altra $g(x)>=0$ e quindi eliminando le eventuali soluzioni di $f(x)>=(g(x))^2$ che nascono da $g(x)<0$.
Cordialmente, Alex[/quote]
Grazie ancora Alex.
Credo in effetti la risposta sia questa.
Siete davvero tutti molto gentili, sono contento di aver scoperto il forum
Che poi in realtà in questo caso prendendo $a>b$ nel caso particolare a>0 (ad es. la radice è sempre positiva e mettiamo a rappresenti la radice), ora, se quadrassi senza aggiungere condizioni avrei $a^2>b^2$ ora se risolvessi questa nuova equazione cioè passatemi il termine "tornassi indietro" essa sarebbe verificata nei confronti di a solo quandoc ho che: $a>b \or a<-b$ quindi quadrando perdo soluzioni, imponendo $b>=0$ mi risolvo questo problema poiché scarto $a<-b$.
(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)
Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?
(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)
Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?
"massimino's":
@gugo82
Grazie anche a te per l'intervento
Ti dirò in realtà non ho un vero e proprio esercizio guida, nel senso che ogni volta li risolvo ragionando sul dato esercizio e quindi non ne ho uno che non so fare. Ma mi è sorto più che altro il dubbio teorico da questa considerazione:
Nelle equazioni sono costretto a scrivere data l'irrazionale $sqrt(f(x))=g(x)$ la così detta "concordanza" $g(x)>=0$ e serve per impedire di introdurre soluzioni elevando al quadrato. Questo perché la radice è per convenzione positiva ma la soluzione di una equazione con potenza positiva porta a soluzione sia per il caso positivo che negativo. In poche parole, se ho $sqrta=b$ quando scrivo $a=b^2$ mi accorgo che tornando indietro (ossia risolvendo pet tutti i valori che rendono vera la mia nuova equazione) è verificata per due valori $b=+-sqrta$ insomma questo testimonia che avrei introdotto una soluzione elevando impunemente. Imponendo la concordanza, invece, $b>=0 $ intervengo limitado il caso al solo positivo e tutto torna: l'elevamento a potenza positiva è legale
E mi son detto: perché diamine nelle equazioni si e nelle disequazioni no? Dove sto già considerando la "concordanza" (cioè il non introdurre soluzioni purr quadrando la disequazione) senza che mi accorga?
Beh, facile.
Una quantità non negativa (cioè, $>=0$), quale è $sqrt(f(x))$, non può mai uguagliare $g(x)$ se quest’ultima è $<0$.
Pertanto l’equazione $sqrt(f(x)) = g(x)$ ha le stesse soluzioni del sistema:
$\{(f(x) >=0, text(condizione di esistenza della radice)), (g(x) >=0, text(vincolo di segno)), (f(x) = g^2(x), text(equazione liberata dalle radici)):}$.
Analogamente, la disequazione $sqrt(f(x)) > g(x)$ è sempre risolta quando $g(x) <0$ (perché il primo membro, non negativo, è certamente maggiore del secondo, negativo) e potrebbe averne anche quando $g(x) >=0$.
Conseguentemente, la disequazione $sqrt(f(x)) > g(x)$ ha le stesse soluzioni dei sistemi:
$\{(f(x) >= 0, text(condizione di esistenza della radice)), (g(x) < 0, text(vincolo di segno)):} vv \{(f(x) >=0, text(condizione di esistenza della radice)), (g(x) >=0, text(vincolo di segno)), (f(x) > g^2(x), text(disequazione liberata dalle radici)):}$.
Basta ragionare.
Utilizzare “formulette magiche” non serve a nulla.
Certamente, quello che dici mi torna alla perfezione ed è proprio il modo che uso per le risoluzioni. Però forse sono ciecato dal dubbio e non vedo le vostre risposte, tuttavia mi sembra di aver portato fuori strada e mi scuso per essermi espresso male, però quel ragionamento mi torna in toto fin da principio
Quello che vorrei piuttosto chiedere e forse l'ho messa giù male era che: volevo capire se come quando quadro una equazione (che mi porta a introdurre soluzioni che riduco allaquantità iniziale, proprio fissando $g(x)>=0$, anche il quadrare ambo i membri di una disequazione portava a cambiarmi l'insieme di soluzioni di essa.
Mi sembra questa a seguire risponda alla domanda, secondo voi ho detto cose giuste?...
Quello che vorrei piuttosto chiedere e forse l'ho messa giù male era che: volevo capire se come quando quadro una equazione (che mi porta a introdurre soluzioni che riduco allaquantità iniziale, proprio fissando $g(x)>=0$, anche il quadrare ambo i membri di una disequazione portava a cambiarmi l'insieme di soluzioni di essa.
Mi sembra questa a seguire risponda alla domanda, secondo voi ho detto cose giuste?...
"massimino's":
Che poi in realtà in questo caso prendendo $a>b$ nel caso particolare a>0 (ad es. la radice è sempre positiva e mettiamo a rappresenti la radice), ora, se quadrassi senza aggiungere condizioni avrei $a^2>b^2$ ora se risolvessi questa nuova equazione cioè passatemi il termine "tornassi indietro" essa sarebbe verificata nei confronti di a solo quandoc ho che: $a>b \or a<-b$ quindi quadrando perdo soluzioni, imponendo $b>=0$ mi risolvo questo problema poiché scarto $a<-b$.
(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)
Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?
No, non sempre.
Ad esempio, $sqrt(x) <= -1$ è ovviamente impossibile, ma $x <=1$ soluzioni ne ha.
Il punto è che fare operazioni “a ç@%%0” su una disequazione o un’equazione non è mai una buona scelta.
Bisogna ragionare, come tu stai già facendo.
Ad esempio, $sqrt(x) <= -1$ è ovviamente impossibile, ma $x <=1$ soluzioni ne ha.
Il punto è che fare operazioni “a ç@%%0” su una disequazione o un’equazione non è mai una buona scelta.
Bisogna ragionare, come tu stai già facendo.
Che poi in realtà in questo caso prendendo $a>b$ nel caso particolare a>0 (ad es. la radice è sempre positiva e mettiamo a rappresenti la radice), ora, se quadrassi senza aggiungere condizioni avrei $a^2>b^2$ ora se risolvessi questa nuova equazione cioè passatemi il termine "tornassi indietro" essa sarebbe verificata nei confronti di a solo quandoc ho che: $a>b \or a<-b$ quindi quadrando perdo soluzioni, imponendo $b>=0$ mi risolvo questo problema poiché scarto $a<-b$.
(Poi ovviamente sarebbe da studiare b<0)
Cioè insomma, quadrare una equazione mi introduce soluzioni se risolta (rispetto all'originale non quadrata), mentre quadrare una disequazione me ne farebbe perdere.
Giusto?
No, non sempre.
Ad esempio, $sqrt(x) <= -1$ è ovviamente impossibile, ma $x <=1$ soluzioni ne ha.
Il punto è che fare operazioni “a ç@%%0” su una disequazione o un’equazione non è mai una buona scelta.
Bisogna ragionare, come tu stai già facendo.
Grazie, in effetti cercavo di generalizzare ma ho preso una cantonata.
Grazie mille per i tuo aiuto!
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