Concavità di una funzione

[HowardRoark]

Devo studiare la concavità di $y=x^4-6x^2$.

Calcolo la derivata seconda e ne studio il segno:

$f''(x) = 12x^2-12$
$f''(x)>0 => 12x^2-12>0 => x<-1 vv x>1$.

Quindi dovrei aspettarmi che la funzione sia concava verso l'alto per $x<-1$, verso il basso per $-11$. Dal grafico però mi sembra che abbia concavità verso il basso per $-sqrt(3)< x Sbaglio qualcosa?

[StellaMartensitica]

No. Io penso tu ti stia confondendo i punti di massimo e minimo con i flessi. È nei flessi che cambia la concavità. Quindi è giusto il tuo procedimento. I flessi sono in $x=-1$ ed $x=1$

[HowardRoark]

Non mi stavo confondendo con i massimi e i minimi; più che altro non riesco a capire come riuscire a convincermi, algebricamente, che -1 e 1 siano proprio punti di flesso, e che quindi si abbia concavità verso il basso per $-1

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[Bokonon]

Considera l'intervallo $]0,sqrt(3)[$.
Se la concavità fosse sempre negativa, allora potresti disegnare la tangente alla curva sempre alla destra della stessa...

[StellaMartensitica]

"HowardRoark":convincermi, algebricamente

Non si che definzioni ti siano state fornite a scuola. Però dato che hai detto "algebricamente" probabilmente intendi la definzione seguente:

Data $f(x): A->R$ con $A=[a,b]$ , $f(x)$ è convessa in $A <=> \forall x in A$

$f(x)<=f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)$

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque":
Non si che definzioni ti siano state fornite a scuola. Però dato che hai detto "algebricamente" probabilmente intendi la definzione seguente:

Data $f(x): A->R$ con $A=[a,b]$ , $f(x)$ è convessa in $A <=> \forall x in A$

$f(x)<=f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)$

Difatti il problema nasce proprio dalla definizione di convessità che dà il mio libro. Te la riporto:

Diciamo che in $x_0$ la funzione $f(x)$ è convessa se esiste un intorno completo $I$ di $x_0$ tale che, per ogni $x$ appartenente all'intorno e diverso da $x_0$, la funzione assume valori maggiori di quelli di $t(x)$ nei punti aventi la stessa ascissa, ossia:

$f(x)>t(x)$, $\forall x in I$ e $x$ diverso da $x_0$

[StellaMartensitica]

Ma $t(x)$ è la tangente?

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque":Ma $t(x)$ è la tangente?

sì

[StellaMartensitica]

Questa definizione non comprende alcuni casi. Ad esempio:
La funzione
$y=|x|$ come la tratti in $x_0=0$? è convessa? è concava?

Quindi sinceramente mi sembra una definizione un po' del menga. Ma siccome non sono titolato dirti che è del menga, spero qualche utente più ferrato possa confermare o smentire la bontà di questa def.

In attesa che ciò accada ti consiglio di pensare semplicemente. Applicare la definizione per provare che una funzione è convessa non ha molto senso quando puoi applicare dei teoremi che ti dicono che studiare la derivata seconda, sotto opportune ipotesi, ti consente di stabilire se la funzione è concava o convessa nel suo dominio.

Chiaramente la faccenda cambia se il testo del problema chiede esplicitamente di valutare convessità e concavità mediante la definizione. In tal caso dimmelo che ci provo a spiegarti come applicare questa def. Sicuramente dovrai studiare la concavità in un intorno dx ed in un intorno sx di $x_0=+1$ e $x_0=-1$ per verificare che, effettivamente, la concavità cambia.

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque": Applicare la definizione per provare che una funzione è convessa non ha molto senso quando puoi applicare dei teoremi che ti dicono che studiare la derivata seconda, sotto opportune ipotesi, ti consente di stabilire se la funzione è concava o convessa nel suo dominio.

Sicuramente è vero; più che altro pensavo di potermi convincere della convessità della funzione semplicemente guardandone il grafico, e il fatto di non riuscirci mi sembrava un po' strano

Chiaramente la faccenda cambia se il testo del problema chiede esplicitamente di valutare convessità e concavità mediante la definizione.

Per ora nulla del genere, ma nel caso dovessi avere problemi con esercizi di questo tipo posterò sicuramente!

[StellaMartensitica]

Si certo guardando il grafico ti accorgi facilmente della concavità. Devi vedere dove "guarda" la funzione (detta brutalmente).

Cerca di ragionare per analogia alla definizione di concavità che già ti dovrebbe essere stata data per la parabola quando avete affrontato le coniche, che aiuta (ma non è fondamentale).

Convessa allora la funzione guarda verso l'altro, altrimenti concava verso il basso.

Tanto poi il lapsus linguae è dietro l'angolo.
Si corre comunque il rischio di fare confusione ma se pensi alle parabole non dovresti avere difficoltà.

[gugo82]

Beh, disegnando decentemente le cose, mi pare che i punti di flesso si riconoscano facilmente...
[asvg]xmin=-4; xmax =4; ymin=-10; ymax=30;
axes("","");
strokewidth =1; stroke="grey"; plot("-8*x+3",-0.5,2.5); plot("8*x+3",-2.5,0.5);
stroke="red"; strokewidth =2;plot("x^4-6*x^2");
dot([1,-5]); dot([-1,-5]);[/asvg]