Composizioni di funzioni fog e gof

[AlexAlessio]

Date le funzioni

f(x) = x+a
g(x) = x^2 + b

determina quali condizioni devono soddisfare a e b in modo che risulti fog = gof (ovviamente sarebbe f composto g e g composto f)

grazie :D

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Siano date due funzioni

[math]f : A \to B[/math]

e

[math]g: C \to D\\[/math]

.

La composizione

[math]g \circ f[/math]

è definita se e solo se

[math]B[/math]

è sottoinsieme di

[math]C[/math]

;
in tal caso

[math](g \circ f): A \to D[/math]

è definita da

[math](g \circ f)(x) := g(f(x))[/math]

,
per ogni

[math]x \in A\\[/math]

.

La composizione

[math]f \circ g[/math]

è definita se e solo se

[math]D[/math]

è sottoinsieme di

[math]A[/math]

;
in tal caso

[math](f \circ g): C \to B[/math]

è definita da

[math](f \circ g)(x) := f(g(x))[/math]

,
per ogni

[math]x \in C\\[/math]

.

Nel nostro caso, dato che

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]

e

[math]g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]

, sono definite
entrambe le composizioni. In particolare:

[math]\small (g \circ f)(x) = (x + a)^2 + b[/math]

ed

[math]\small (f \circ g)(x) = \left(x^2 + b\right) + a\\[/math]

.

Ebbene, perché si verifichi

[math](g \circ f) = (f \circ g)[/math]

deve essere

[math](x + a)^2 + b = \left(x^2 + b\right) + a[/math]

, ossia:

[math]x^2 + 2ax + a^2 + b = x^2 + a + b[/math]

che semplificata porge:

[math](2a)x + a(a - 1) = 0[/math]

. In definitiva, tale uguaglianza è un'identità,
ovvero vale per ogni x reale, se e soltanto se

[math]a = 0 \, \land \forall\, b \in \mathbb{R}[/math]

. :)

[AlexAlessio]

Grazie :hi