Composizione di funzioni
Il testo dell'esercizio è il seguente:
1) Date le due funzioni f(x)=ln(x+3) e g(x)=x^(2)-3:
a) f(g(x))=lnx-3
b) g(f(x))=(lnx)^2
c) f(g(x))=ln(x)^2
d) nessuna delle precedenti
Ora la risposta esatta è chiaramente la c), ma nelle soluzione dà sia la c) che la d). Vi chiedo una possibile spieazione a riguardo.
C'è qualche criterio da rispettare quando si fa la composizione oppure le funzioni sono tutte componibili? Cioè, prima di creare la funzione composta devo prima verificare qualcosa?
Grazie
1) Date le due funzioni f(x)=ln(x+3) e g(x)=x^(2)-3:
a) f(g(x))=lnx-3
b) g(f(x))=(lnx)^2
c) f(g(x))=ln(x)^2
d) nessuna delle precedenti
Ora la risposta esatta è chiaramente la c), ma nelle soluzione dà sia la c) che la d). Vi chiedo una possibile spieazione a riguardo.
C'è qualche criterio da rispettare quando si fa la composizione oppure le funzioni sono tutte componibili? Cioè, prima di creare la funzione composta devo prima verificare qualcosa?
Grazie
Risposte
La composizione $f(g(x))$ ha senso quando l'immagine di $g$ è contenuta nel dominio di $f$. Il dominio massimale della $f$ è $]-3, +\infty[$. Se il dominio di $g$ è $\mathbb{R}$, allora l'immagine è $[-3, +\infty[$, e in questo caso le funzioni non sono componibili, perché l'intervallo $[-3, +\infty[$ non è contenuto in $]-3, +\infty$.
Quello che si può fare è restringere il dominio di $g$ affinché la sua immagine sia $]-3,+\infty[$, e per far questo basta buttare via il punto $0$. Quindi, se il dominio di $g$ è $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ allora la sua immagine è $]-3, +\infty$, e le deu funzioni sono componibili, in particolare, il dominio di $f(g(x))$ è $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, e risulta
$f(g(x)) = \ln((x^2 - 3) + 3) = \ln(x)$
quindi direi che la c) non è la risposta esatta...
Quello che si può fare è restringere il dominio di $g$ affinché la sua immagine sia $]-3,+\infty[$, e per far questo basta buttare via il punto $0$. Quindi, se il dominio di $g$ è $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ allora la sua immagine è $]-3, +\infty$, e le deu funzioni sono componibili, in particolare, il dominio di $f(g(x))$ è $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, e risulta
$f(g(x)) = \ln((x^2 - 3) + 3) = \ln(x)$
quindi direi che la c) non è la risposta esatta...
scusa tipper ma la funzione $f(x) = ln(x)$ è definita $AAx in RR^+$ mentre $f(x) = ln(x^2)$ vale $AAx in RR\\{0}$ e quest'ultima coincide con quanto detto tu
Si ho sbagliato a digitare, mi sono scordato l'esponente. La funzione è $f(g(x)) = \ln(x^2)$. Il fatto è che avevo interpretato la c) e la b) allo stesso modo, ossia come $\ln^2(x)$...
Quando tu dici "se il dominio di g è R, allora l'immagine è [-3,+∞[, e in questo caso le funzioni non sono componibili, perché l'intervallo [-3,+∞[ non è contenuto in ]-3,+∞"
nn mi è chiaro perchè l'immagine è [-3,+∞[ !!
nn mi è chiaro perchè l'immagine è [-3,+∞[ !!
Ti torna che l'immagine della funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = x^2$ è $[0, +\infty[$?
ok!! ho capito che l'immagine di g(x)=x^(2)-3 è [-3;+infinito) cioè è inclusi il -3 che nn fa parte del dominio di f(x)
Giusto?
Giusto?
Giusto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo