Composizione di funzioni

[antonio1011]

Potreste verificare se ho eseguito correttamente questo esercizio.

Sono date le funzioni:
$f(x)=(2x-1)/(x+2)$ e $g(x)=x/(x-1)$
Determina l'equazione di $g°f$

Ho calcolato il dominio delle funzioni anche se non richiesto.
La funzione f è definita per $x!=-2$ e la funzione g per $x!=1$. Pertanto
$D_f=R-{-2}$ e $D_g=R-{1}$
Per eseguire la composizione g°f è necessario che il codominio di f sia contenuto nel dominio di g. A tal fine dobbiamo trovare un insieme $AsubeD_f|f(A)subeDg$
Osserviamo che:
$AsubeD_f<=>AsubeR-{-2}$
e inoltre:
$f(A)subeD_g<=>f(A)subeR-{1}<=>f(A)!=1<=>f(x)!=1<=>(2x-1)/(x+2) !=1<=>x!=3<=>AsubeR-{3}$
Dunque
$(AsubeR-{-2})^^(AsubeR-{3})<=>AsubeR-{-2,3}$

Ho considerato poi l'insieme in R più grande in cui fosse possobile eseguire g°f, cioè: $A=R-{-2,3}$. Pertanto ho considerato la funzione f ridefinita nel seguente modo:
$f:R-{-2,3}->R:f(x)=(2x-1)/(x+2)$

Ho pertanto trovato l'equazione di $g°f:R-{-2,3}->R$
$y=g(f(x))$
$g(f(x))=g((2x-1)/(x+2))=(2x-1)/(x+2)/(2x-1)/(x+2) -1=(2x-1)/(x-3)$
Pertanto l'equazione cercata è
$y=(2x-1)/(x-3)$

Grazie e buona domenica.

[anto_zoolander]

hai fatto un errore all'inizio.

definisci la funzione $f$ come $f(x)=(2x+1)/(x+2)$

e poi quando calcoli $f(x)ne1$ usi $(2x-1)/(x+2)ne1$

[antonio1011]

Si hai ragione. E' all'inizio che ho sbagliato a scrivere. Ora ho corretto.
Per il resto il ragionamento è corretto?

[anto_zoolander]

Si.
Alla fine se non pretendi troppo dallo studio della composizione, basta che soddisfi la proprietà che il codominio della funzione interna sia contenuto al più impropriamente nel dominio della funzione esterna e che il dominio della composizione, sia il dominio di quella più interna.

Se invece vuoi palleggiarti come ti pare la composizione, il discorso è più lungo

[G.D.5]

"anto_zoolander":Si.
... il codominio della funzione interna contenuto al più impropriamente nel dominio della funzione esterna e che il dominio della composizione, sia il dominio di quella più interna.

Non ho capito l'uso di quel "al più".

[anto_zoolander]

ho sbagliato a scrivere, c'era un 'sia' contenuto al più impropriamente ...

e intendo che il codominio della funzione interna può anche coincidere con il dominio della funzione esterna(che se non sbaglio, dalla teoria, se un insieme contenuto in un altro coincide con quest'ultimo si dice che è contenuto impropriamente).
Ho sbagliato qualcosa?

[G.D.5]

Di solito date due applicazioni \( f \colon S \to T \) e \( g \colon U \to V \) si taglia corto e per considerare la loro composta \( g \circ f \) si pone la condizione \( T = V \). Tu invece hai un approccio più sottile: richiedi che il codominio della prima sia una parte del dominio della seconda ammettendo eventualmente che questi coincidano. In altri termini mi sembra di capire che qualora fosse \( T \subset U \) (i.e. \( T \) è contenuto in \( U \) ma \( T \neq U \)) tu ne considereresti comunque la composizione. A questo punto, sottile per sottile, ci si può "allargare" ulteriormente: basta che sia \( f(S) \cap U \neq \varnothing \) per poter considerare la composizione \( g \circ f \) nel qual caso il dominio della composta è \( f^{\leftarrow} \bigl ( f(S) \cap U \bigr ) \), dove \( f^{\leftarrow} \) è la fibra dell'applicazione \( f \).

È solo una piccola "nota di servizio": ho letto anche altri tuoi interventi su altri esercizi relativi alle funzioni composte e visto che non ti preoccupi di farla un pochino più complicata mi sembrava una nota interessante. Ovviamente se già lo sapevi allora come non detto.

[anto_zoolander]

Grazie, bellissima risposta
L'algebra è una delle branche, insieme all'analisi, che più mi affascinano.

È vero allargando al massimo il concetto, per considerarne una composizione, basta che si verifichi quella intersezione non vuota che hai descritto.

Anche se come dominio della composta, considero sempre il dominio della funzione più interna. L'importante è lavorare sul codominio. Anche se ovviamente poi le conseguenze le paga anche il dominio.

OT
Vorrei chiederti una delucidazione a che ci sono, sulla fibra.

La fibra è l'insieme delle controimmagini?

Cioè considerando un codominio $X$, $f^(-1)(X)$ equivale alla fibra?
Ovvero:

$f^(-1)(X)=f^(leftarrow)(X)$? O indicano due cose distinte?

[G.D.5]

Metto sotto spoiler visto che stiamo andando OT.

Che cos'è per te \( f^{-1}(X) \)?

Le notazioni purtroppo non sono universali.

Date un'applicazione \( f \colon S \to T \) ed una parte \( Y \) di \( T \) si dice fibra (o controimmagine o antiimmagine o preimmagine o immagine inversa o immagine reciproca o retroimmagine) di \( Y \) per mezzo di \( f \) e si indica con \( f^{\leftarrow}(Y) \) la parte di \( S \) costituita da quegli elementi le cui immagini tramite \( f \) appartengono a \( Y \):

\[
f^{\leftarrow}(Y) := \{ x \in S \mid f(x) \in Y \}
\]

Se \( T \supseteq Y = \{ y \} \) (i.e. se \( Y \) è costituito da un solo elemento), allora, con abuso di notazione, si scrive anche \( f^{\leftarrow}(y) \) in luogo del più corretto \( f^{\leftarrow}(\{ y \}) \).

Quindi l'antiimmagine di \( Y \subseteq T \) è un sottoinsieme di \( S \).

Sia ora data un'applicazione \( f \colon S \to T \): tale applicazione si dice invertibile se e solo se, per definizione, esiste un'applicazione \( g \colon T \to S \) tale che \( g \circ f = \iota_{S} \) e \( f \circ g = \iota_{T} \), dove \( \iota_{S} \) e \( \iota_{T} \) sono le identità di \( S \) e di \( T \) rispettivamente. Se una tale applicazione \( g \) esiste, allora essa è unica. Sia \( f \colon S \to T \) iniettiva e suriettiva: allora per definizione essa è biettiva. Si dimostra che \( f \) è invertibile se e solo se essa è biettiva. Ecco allora che un'applicazione \( f \colon S \to T \) ammette un'inversa se e solo se essa è biettiva e questa inversa è unica: tale inversa si indica con \( f^{-1} \colon T \to S \).

Ovviamente essendo \( f^{-1} \) un'applicazione, per ogni parte \( Y \) di \( T \) se ne può considerare l'immagine tramite \( f^{-1} \) indicata con \( f^{-1}(Y) \), che è ovviamente una parte di \( S \). Inoltre \( f^{-1}(y) \) è l'immagine di \( y \) per mezzo di \( f^{-1} \), che è un elemento di \( S \).

Inoltre succede che data un'applicazione \( f \colon S \to T \), questa è biettiva se e solo se per ogni \( y \in T \) risulta che \( f^{\leftarrow}(\{y\}) \equiv f^{\leftarrow}(y) \) è un singleton (i.e. è costituita da un solo elemento).

Per tali ragioni si completa l'abuso di notazione e molto spesso si finisce con l'indicare \( f^{\leftarrow} \) con \( f^{-1} \) ma \( f^{\leftarrow} \) esiste indipendentemente dall'invertibilità di \( f \), la sua esistenza dipende da quella di \( f \), inoltre \( f^{\leftarrow} \) ha sempre come "argomento" parti di \( T \) e non elementi di \( T \) come invece accade per \( f^{-1} \) (fatta eccezione per il caso in cui si consideri l'immagine tramite \( f^{-1} \) di una parte di \( T \)) ed infine (o forse soprattutto) \( f^{\leftarrow} \) è semplicemente una parte di \( S \) mentre \( f^{-1} \) è un'applicazione di \( T \) in \( S \). Tuttavia quando l'applicazione \( f \) è biettiva l'antiimagine di un singleton e l'immagine di un elemento di \( T \) per mezzo dell'inversa si identificano in modo naturale (infatti sotto tali ipotesi risulta \( f^{\leftarrow}(\{y\}) = \{ x \} \), \( f^{-1}(\{y\})=\{x\} \) e \( f^{-1}(y) = x \)) e allora si tende a tollerare l'abuso di notazione.

[anto_zoolander]

faccio lo stesso

intanto grazie mille per esserti dedicato a delucidarmi su questa cosa.
Poi grazie ancora perché sei stato chiarissimo

ho compreso la differenza tra $f^(leftarrow)$ e $f^(-1)$. Vediamo se riesco ad abbozzare ciò che ho compreso.

sia $f:S->T$ una funzione.

se $f$ ammette inversa, $f^(-1):T->S$ è la funzione inversa tale che $f^(-1)(y)={x inS: yin T, x=f^(-1)(y)}$
ovvero $x$ è l'immagine inversa di $y$ secondo $f^(-1)$
naturalmente questo presuppone che $f$ sia invertibile.
Quindi in particolare $f^(-1)$ è per l'appunto la funzione inversa

invece, considerando $f:S->T$ senza presupporre nulla $f^(leftarrow)(T)$ è un insieme, ed in particolare:

$f^(leftarrow)(T)={x inS'subseteqS:y inT}$ naturalmente $S'$ è parte di $S$

ad esempio.. $f(x)=sqrtx, f:RR^+ ->RR$

in questo caso la fibra $f^(leftarrow)(RR)=RR^+$

[G.D.5]

"anto_zoolander":
sia $ f:S->T $ una funzione.

se $ f $ ammette inversa, $ f^(-1):T->S $ è la funzione inversa tale che $ f^(-1)(y)={x inS: yin T, x=f^(-1)(y)} $
ovvero $ x $ è l'immagine inversa di $ y $ secondo $ f^(-1) $
naturalmente questo presuppone che $ f $ sia invertibile.
Quindi in particolare $ f^(-1) $ è per l'appunto la funzione inversa

No.

Innanzitutto quando si fornisce la definizione di un concetto non si può ricorrere al concetto stesso: se lo si fa, la definizione è autoreferenziale, quindi tautologia e per tanto essa perde di valore. Quindi in ogni caso la scrittura \( f^{-1}(y) = \{ x \in S \mid y \in T, x = f^{-1}(y) \} \) è sbagliata perché definisci \( f^{-1}(y) \) utilizzando \( f^{-1}(y) \).

C'è poi un errore concettuale: se \( f \colon S \to T \) è invertibile e \( f^{-1} \colon T \to S \) è la sua inversa, allora \( f^{-1}(y) \) deve essere un elemento e non un sottoinsieme di \( S \), come invece risulterebbe dalla posizione \( f^{-1}(y) = \{ x \in S \mid y \in T, x = f^{-1}(y) \} \), al netto dell'erronea ripetizione di \( f^{-1}(y) \).

Sia \( f \colon S \to T \) un'applicazione invertibile: per definizione questo significa che esiste un'applicazione \( g \colon T \to S \) tale che \( g \circ f = \iota_{S} \) e \( f \circ g = \iota_{T} \). Poiché (si prova che) l'inversa (se esiste) è unica, allora questa si indica con \( f^{-1} \). Resta da stabilire, per ogni \( y \in T \), chi è \( f^{-1}(y) \). Poiché (si prova che) un'applicazione è invertibile se e solo se essa è biettiva, data \( f \colon S \to T \), essendo essa invertibile e quindi biettiva, risulta verificata la condizione \( \forall x \in S, \exists ! y \in T : f(x) = y \), sicché si può porre \( f^{-1}(y)=x \iff y = f(x) \).

C'è poi un errore di nomenclatura: se \( f \colon S \to T \) è invertibile e \( f^{-1} \colon T \to S \) è la sua inversa, allora \( x = f^{-1}(y) \) non è l'immagine inversa di \( y \) secondo \( f^{-1} \): \( x \) è semplicemente l'immagine di \( y \) secondo \( f^{-1} \), così come, in generale, per una qualunque applicazione \( h \colon A \to B \) si dice che \( b = h(a) \) è l'immagine di \( a \) secondo \( h \). La locuzione "immagine inversa" andrebbe riservata, per una qualunque applicazione \( f \colon S \to T \) e per ogni \( Y \subseteq T \), alla parte di \( S \) definita ponendo \( \{ x \in S \mid f(x) \in Y \} \), vale a dire \( f^{\leftarrow}(Y) \).

Questo errore di nomenclatura è un abuso di locuzione così come, data una qualunque applicazione \( f \colon S \to T \), è un abuso di notazione indicare \( f^{\leftarrow} \) con \( f^{-1} \). Tuttavia quando \(f \colon S \to T \) è biettiva (e quindi invertibile) per ogni \( Y \subseteq T \) che sia un singleton (i.e. per ogni \( Y \) sottoinsieme di \( T \) costituito da un unico elemento \( y \) di \( T \), ovvero \( Y = \{ y \} \)) si ha che \( f^{\leftarrow}(\{y\}) \) è a sua volta un singleton, i.e. \( f^{\leftarrow}(\{y\}) = \{x\} \). E allora, quando \( f \colon S \to T \) è invertibile, scelto un qualunque \( y \in T \), accade che \( f^{\leftarrow}(\{y\}) = \{ x \} \) e \( f^{-1}(y) = x \), sicché l'abuso di locuzione e l'abuso di notazione di cui sopra diventano poco significativi e, per tanto, infine, tollerabili.

"anto_zoolander":
invece, considerando $ f:S->T $ senza presupporre nulla $ f^(leftarrow)(T) $ è un insieme, ed in particolare:

$ f^(leftarrow)(T)={x inS'subseteqS:y inT} $ naturalmente $ S' $ è parte di $ S $

ad esempio.. $ f(x)=sqrtx, f:RR^+ ->RR $

in questo caso la fibra $ f^(leftarrow)(RR)=RR^+ $

Scrivere \( f^{\leftarrow}(T) = \{ x \in S' \subseteq S : y \in T \} \) è innanzitutto ridondante: occorre e basta porre \( x \in S \) e sarà poi \( S' \equiv f^{\leftarrow}(T) \) automaticamente una parte di \( S \). Inoltre, in ragione della definizione di applicazione, \( f^{\leftarrow}(T) = S \) senza possibilità che sia \( f^{\leftarrow}(T) \subset S \), altrimenti non avresti un'applicazione.