Completamento del quadrato

[Mr.Mazzarr]

Salve ragazzi.
Sto esercitandomi sugli integrali, spesso fratti e spesso con delta negativo.

Ho letto su internet che il metodo di risoluzione consta nell'applicazione del completamento del quadrato, ma Wikipedia non ha una pagina molto semplice di comprensione! Potreste aiutarmi a capire come funziona?

P.s.
Se ho sbagliato sezione chiedo scusa!

[giammaria2]

Consiste nello scrive il trinomio $ax^2+bx+c$ nella forma $(px+q)^2+k$ (in alcuni casi trovo più comoda $r[(px+q)^2+k]$): cominci a cercare i valori di $p,q$ notando che $a=p^2$ e che $b$ corrisponde al doppio prodotto; sottraendo $q^2$ ricavi $k$. Te lo spiego meglio con qualche esempio, in ordine di difficoltà crescente.

1) $x^2+6x+12=(x+3)^2-9+12=(x+3)^2+3$

2) $9x^2-12x+15=(3x-2)^2-4+15=(3x-2)^2+11$

3) $4x^2+2x+1=(2x+1/2)^2-1/4+1=(2x+1/2)^2+3/4$

4) $3x^2+2x+2=3(x^2+2/3x+2/3)=3[(x+1/3)^2-1/9+2/3]=3[(x+1/3)^2+5/9]$

Prosegui poi l'integrale con la sostituzione $t=px+q$

[Mr.Mazzarr]

$p$ si calcola random facendo la radice quadrata di $a$ ? E' una formula prescritta ?
Il valore di $q$ e $k$ deve essere tale che la somma da $c$, giusto ?

[giammaria2]

Non è "una formula prescritta" ma solo una questione di buon senso: i due membri devono essere uguali e quindi devono avere coefficienti uguali per $x^2$. Deve quindi essere $p=+-sqrta$ e scegliamo arbitrariamente il segno più comodo, come facevi in prima: scrivevi $x^2-2x+1=(x-1)^2$ e non $x^2-2x+1=(-x+1)^2$ anche se è egualmente giusto.
Il valore di $q$ viene dedotto da quello di $b$, in modo che dia il giusto doppio prodotto; k deve essere tale che la somma dia $c$.

[Mr.Mazzarr]

E su questo ci siamo..

Mi spiegheresti l'ultimo esempio? Noto che hai calcolato anche $r$, in base a cosa l'hai scelto di fare?

[giammaria2]

Il primo coefficiente, $3$, non è un quadrato perfetto, quindi dovrei porre $p=sqrt3$ e lavorare con i radicali, cosa decisamente scomoda. Ho perciò preferito metterlo in evidenza e continuare nel modo che vedi; volendo, è sempre lecito mettere in evidenza il coefficiente di $x^2$, ma spesso non serve a nulla.

[Mr.Mazzarr]

E nel caso in cui ho un delta negativo ma non un doppio prodotto?

Ad esempio $x^2 + x + 1$. Come posso lavorare qui?

[giammaria2]

$x^2+x+1=(x+1/2)^2-1/4+1=(x+1/2)^2+3/4$

[Mr.Mazzarr]

Mmm sul discorso di base credo di esserci.

Per la scelta di due numeri come $1/2$ e $3/4$ hai seguito semplicemente riflettuto e fatto un tentativo? Non c'è alcun altro modo per arrivare a quelle due cifre in modo immediato e pratico?

[giammaria2]

Per trovare $1/2$ il ragionamento è stato: so che $p=1$ e voglio che $2pq=1$. A mente, da questa equazione ricavo $q$.
Per $3/4$ ho invece fatto il calcolo scritto: $-1/4+1=3/4$

[Pianoth]

In generale:
$ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a)=a[(x+b/(2a))^2-b^2/(4a^2)+c/a]=$
$=a[(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a^2)]=a[(x+b/(2a))^2-Delta/(4a^2)]$
(puoi anche immaginarla come una formula, ma sono calcoli semplici quindi non ne vale la pena)
Nel caso in cui il coefficiente di $x^2$ è un quadrato perfetto:
$a^2x^2+bx+c=(ax+b/(2a))^2-b^2/(4a^2)+c$

Esempio completamente a caso:

$5x^2+8x-9 = 5[x^2+8/5x-9/5]=5[(x+4/5)^2-16/25-9/5]=$
$5[(x+4/5)^2-(16+45)/25]=5[(x+4/5)^2-61/25]$

[Mr.Mazzarr]

"giammaria":Per trovare $1/2$ il ragionamento è stato: so che $p=1$ e voglio che $2pq=1$. A mente, da questa equazione ricavo $q$.
Per $3/4$ ho invece fatto il calcolo scritto: $-1/4+1=3/4$

Quindi, correggimi se sbaglio..
Innanzitutto trovo il valore di $p$. In base a ciò, sapendo che $b$ è il doppio prodotto, devo trovarmi $q$.
Ovvero un valore che elevato al quadrato e moltiplicato nell'ambito del doppio prodotto, mi da sia il doppio prodotto che un numero da sommare per trovare il termine noto di quella equazione di secondo grado.

Giusto l'ultima domanda: mi spiegheresti perché $2pq=1$? Cioè, in base a quale collegamento logico?

[giammaria2]

Solo perché nel tuo esercizio avevi $b=1$. Se ci fosse stato $9x^2+7x+10$ avresti avuto $p=3$ e $2pq=7->q=7/6$