Completamento dei quadrati
Mi scuso in anticipo se la domanda è posta male ma sto utilizzando una postazione d'emergenza e sono fuori casa.
Cosa è questo "metodo del completamento dei quadrati"?
Grazie
ardimentoso66
Cosa è questo "metodo del completamento dei quadrati"?
Grazie
ardimentoso66
Risposte
Il "metodo di completamento dei quadrati" è utile in alcune occasioni (calcolo di integrali, esplicitazione di coefficienti per le forme quadratiche, ecc.) e consiste sostanzialmente nell'aggiungere e sottrarre opportune quantità ad un polinomio per mettere in evidenza uno o piú quadrati.
Ad esempio applicandolo ad un polinomio di secondo grado si ha
$x^2+x+1 = x^2+x+1+1/4-1/4 = (x+1/2)^2+1-1/4=(x+1/2)^2+3/4$
e quindi, mediante l'aggiunta e la sottrazione del termine $1/4$, il polinomio è stato scritto come somma di due quadrati.
Ad esempio applicandolo ad un polinomio di secondo grado si ha
$x^2+x+1 = x^2+x+1+1/4-1/4 = (x+1/2)^2+1-1/4=(x+1/2)^2+3/4$
e quindi, mediante l'aggiunta e la sottrazione del termine $1/4$, il polinomio è stato scritto come somma di due quadrati.
Ti ringrazio. Al momento sto fuori casa e mi sfuggiva questo procedimento...
A presto
ardimentoso66
A presto
ardimentoso66
Si tratta di un procedimento meraviglioso ed esaltante (almeno, lo è stato per me quando l'ho scoperto).
Detto con parole semplici: si completano i quadrati quando si vuole esprimere un polinomio di secondo grado come somma di quadrati di polinomi di primo grado e/o di termini noti.
Per esempio il polinomio $x^2+(y-1)^2$ è somma di quadrati di polinomi di primo grado (nella fattispecie x e y-1).
Esempio: metti di avere $x^2+x$ e di voler scrivere questo polinomio come somma di quadrati. Allora cosa fai? Completi il quadrato, nel senso che ti rifai alla nota formula del quadrato del binomio
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ (ovvero: primo al quadrato più secondo al quadrato più doppio prodotto)
per far diventare il termine di primo grado un "doppio prodotto" e quindi scrivere il tutto come "quadrato di qualcosa" + "termine noto".
È difficile rendere l'idea a parole. Il senso è il seguente:
il fatto che in $x^2+x$ compaia la x già al quadrato induce a prendere a=x. In questo modo la $x$ (cioè il secondo addendo) dovrà giocare il ruolo di "doppio prodotto". Si dovrà porre cioè $2ab=2xb=x$, ed è quindi sufficiente che 2b=1. Proviamo quindi a scrivere
$(x+1/2)^2 = x^2+x+1/4$
Portando l'1/4 a destra,
$x^2+x = (x+1/2)^2-1/4$
Come vedi ho riscritto $x^2+x$ come somma del quadrato del polinomio $x+1/2$ e del termine noto $-1/4$.
Ci si puo' domandare a cosa serva tutto cio'. Ebbene per esempio se hai l'equazione di un'ellisse, che so, per esempio
$4x^2+8y^2-6x+2y-3=0$
potresti essere interessato a trovare il centro e i semiassi. Ebbene non devi fare altro che completare i quadrati, in modo da riscrivere l'equazione nella forma canonica che sappiamo essere
$(x-x_0)^2/(a^2) + (y-y_0)^2/(b^2) = 1$
dove i semiassi sono a e b e il centro è $(x_0,y_0)$ (come vedi, in questa formula compaiono solo quadrati di polinomi di primo grado!).
Scrivi quindi $4x^2-6x$ come $(2x-3/2)^2-9/4$, e $8y^2+2y$ come $(2 \sqrt{2}y+1/(2 \sqrt{2}))^2-1/8$.
Sostituendo ottieni:
$(2x-3/2)^2-9/4 + (2 \sqrt{2}y+1/(2 \sqrt{2}))^2-1/8 -3=0$
Portando i termini noti a destra e scrivendo "meglio",
$4(x-3/4)^2 + 8(y+1/8)^2 = 43/8$
Infine dividendo per 43/8,
$((x-3/4)^2)/(43/32) + ((y+1/8)^2)/(43/64) = 1$
Quindi abbiamo ottenuto che $a = \sqrt{43/32}$ e $b=\sqrt{43/64}$. Il centro è $(3/4,-1/8)$.
Ciao ciao
Detto con parole semplici: si completano i quadrati quando si vuole esprimere un polinomio di secondo grado come somma di quadrati di polinomi di primo grado e/o di termini noti.
Per esempio il polinomio $x^2+(y-1)^2$ è somma di quadrati di polinomi di primo grado (nella fattispecie x e y-1).
Esempio: metti di avere $x^2+x$ e di voler scrivere questo polinomio come somma di quadrati. Allora cosa fai? Completi il quadrato, nel senso che ti rifai alla nota formula del quadrato del binomio
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ (ovvero: primo al quadrato più secondo al quadrato più doppio prodotto)
per far diventare il termine di primo grado un "doppio prodotto" e quindi scrivere il tutto come "quadrato di qualcosa" + "termine noto".
È difficile rendere l'idea a parole. Il senso è il seguente:
il fatto che in $x^2+x$ compaia la x già al quadrato induce a prendere a=x. In questo modo la $x$ (cioè il secondo addendo) dovrà giocare il ruolo di "doppio prodotto". Si dovrà porre cioè $2ab=2xb=x$, ed è quindi sufficiente che 2b=1. Proviamo quindi a scrivere
$(x+1/2)^2 = x^2+x+1/4$
Portando l'1/4 a destra,
$x^2+x = (x+1/2)^2-1/4$
Come vedi ho riscritto $x^2+x$ come somma del quadrato del polinomio $x+1/2$ e del termine noto $-1/4$.
Ci si puo' domandare a cosa serva tutto cio'. Ebbene per esempio se hai l'equazione di un'ellisse, che so, per esempio
$4x^2+8y^2-6x+2y-3=0$
potresti essere interessato a trovare il centro e i semiassi. Ebbene non devi fare altro che completare i quadrati, in modo da riscrivere l'equazione nella forma canonica che sappiamo essere
$(x-x_0)^2/(a^2) + (y-y_0)^2/(b^2) = 1$
dove i semiassi sono a e b e il centro è $(x_0,y_0)$ (come vedi, in questa formula compaiono solo quadrati di polinomi di primo grado!).
Scrivi quindi $4x^2-6x$ come $(2x-3/2)^2-9/4$, e $8y^2+2y$ come $(2 \sqrt{2}y+1/(2 \sqrt{2}))^2-1/8$.
Sostituendo ottieni:
$(2x-3/2)^2-9/4 + (2 \sqrt{2}y+1/(2 \sqrt{2}))^2-1/8 -3=0$
Portando i termini noti a destra e scrivendo "meglio",
$4(x-3/4)^2 + 8(y+1/8)^2 = 43/8$
Infine dividendo per 43/8,
$((x-3/4)^2)/(43/32) + ((y+1/8)^2)/(43/64) = 1$
Quindi abbiamo ottenuto che $a = \sqrt{43/32}$ e $b=\sqrt{43/64}$. Il centro è $(3/4,-1/8)$.
Ciao ciao
La tua spiegazione è stata più che esauriente e direi anche ben impostata sul piano didattico.
Stavo proprio lavorando su una conica! Quasi quasi la uso a scuola per i miei ragazzi......
Scherzo!
Il mio problema è che stando fuori casa non mi ritrovo nessun testo da consultare (accidenti!). In effetti la procedura la applicavo ma non associavo il nome al procedimento stesso!
Ti ringrazio ancora
ardimentoso66
Stavo proprio lavorando su una conica! Quasi quasi la uso a scuola per i miei ragazzi......
Scherzo!
Il mio problema è che stando fuori casa non mi ritrovo nessun testo da consultare (accidenti!). In effetti la procedura la applicavo ma non associavo il nome al procedimento stesso!
Ti ringrazio ancora
ardimentoso66
Direi che il procedimento si puo' "meccanizzare" osservando
che qualunque trinomio di secondo grado si puo' scrivere così:
$ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2-(Delta)/(4a)$
dove,come d'uso, e' $Delta=b^2-4ac$
Per esempio per il polinomio $ x^2+x$,essendo $Delta=1^2-4*1*0=1$ ,e'subito:
$x^2+x=(x+1/2)^2-1/4$
Per il polinomio $2x^2-3x+5$ ,con $Delta=9-40=-31$ risulta ,anche qui velocemente,che:
$2x^2-3x+5=2(x-3/4)^2+(31)/8$
e così via.
karl
che qualunque trinomio di secondo grado si puo' scrivere così:
$ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2-(Delta)/(4a)$
dove,come d'uso, e' $Delta=b^2-4ac$
Per esempio per il polinomio $ x^2+x$,essendo $Delta=1^2-4*1*0=1$ ,e'subito:
$x^2+x=(x+1/2)^2-1/4$
Per il polinomio $2x^2-3x+5$ ,con $Delta=9-40=-31$ risulta ,anche qui velocemente,che:
$2x^2-3x+5=2(x-3/4)^2+(31)/8$
e così via.
karl
"ardimentoso66":
Quasi quasi la uso a scuola per i miei ragazzi......
Ma non è che sei un insegnante di scuola superiore vero?
Acc, scusa io pensavo di parlare con uno studente
Ciao Martino, si sono un insegnante di scuola superiore.
Figurati, non c'è alcun problema.
Mi occupo di ragazzi diversamente abili e quindi spesso mi trovo a semplificare delle questioni di matematica pur non essendo io un laureato in matematica.
Ho trovato la tua esposizione semplice e didatticamente valida. Mi è sempre piaciuto questo forum perché ci sono persone sempre pronte e capaci.
Un grazie anche a karl per il suo preciso intervento.
Un affettuoso saluto
ardimentoso
Figurati, non c'è alcun problema.
Mi occupo di ragazzi diversamente abili e quindi spesso mi trovo a semplificare delle questioni di matematica pur non essendo io un laureato in matematica.
Ho trovato la tua esposizione semplice e didatticamente valida. Mi è sempre piaciuto questo forum perché ci sono persone sempre pronte e capaci.
Un grazie anche a karl per il suo preciso intervento.
Un affettuoso saluto
ardimentoso
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