Compito di matematica quarto e quinto superirore come lo svolgo?

[sabino77]

1) 2 disequazioni di grado superiori al secondo

a. 5x(cubo)-6x(quadro)+x > 0

b. x(quadro)+3x-10/5x-15 >0

2) Determinare il dominio,segno e intersezione con gli assi della seguente funzione e rappresentali graficamente:
y= x-2/x(quadro)+6x-7
3) Calcola la derivata delle seguenti funzioni
a. y= 5x+2
b. y= 7x(quadro)-x+1/x-3

4)Date la seguente funzione determina gli intervalli dove sono crescenti e decrescenti e gli eventuali punti di massimo o minimo relativo
y=5x(cubo)-3x(quadro)

[carlogiannini]

Non essendoci formule risolutive per le equazioni di grado superiore al secondo, bisogna scomporre il polinomio in due o più' polinomi di grado inferiore.
quesito a
raccogliendo x troviamo:
x(5x^ -6x + 5) > 0
Un prodotto AB è positivo o negativo secondo la famosa regola
+ per + = +
+ per - = -
- per + = -
- per - = +
A = x
B = 5x^ - 6x + 5
la prima è banale
x > 0 quando la x è maggiore di zero
la seconda è positiva quando la x è all'esterno dell'intervallo formato dalle due soluzioni dell'equazione
+++++++++ x1 --------- x2 ++++++++++
Ricorda che questa cosa vale quando il coefficiente della x al quadrato è positivo. Se il primo coefficiente è negativo diventa esattamente il contrario
----------- x1 +++++++++ x2 ----------
per ricordare questa FONDAMENTALE differenza pensa ad una parabola che incontra l'asse delle X nei due punti x1 e x2.
Se il primo coefficiente è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto (pensa ad un uccello che si tuffa in mare per prendere un pesce e riemerge per tornare a volare in alto)
Se invece il primo coefficiente è negativo, la parabola parte da sotto, emerge nel punto x1 e si rituffa nel punto x2 (pensa ad un delfino che esalta fuori dall'acqua.
Se l'equazione NON HA soluzioni reali la parabola NON arriva a toccare l'asse delle X, quindi è TUTTA SOPRA (pensa alle evoluzioni di un aereo) oppure tutta sotto (le evoluzioni di un pesce)
In questo caso +5 è positivo e
x1= +3/5 ;
x2 = +1 .
Ora fai il grafico
--------- 0 ++++++++++++++++++++
++++++++++++ 3/5 ------ 1 ++++++
Quindi (regola dei segni)
(fino a zero) - per + = -
(da zero a 3/5) + per + = +
(da 3/5 a 1) + per - = -
(da 1 in poi) + per + = +
Quindi il prodotto
x(5x^ -6x + 5) > 0 quando
0 < x < 3/5 e
x > 1
Scusa, ho visto solo ora che avete fatto anche le derivate quindi conosci già la geometria analitica, ma spero che le mie spiegazioni terra-terra ti siano ugualmente d'aiuto.
Ti mando questo mentre preparo le altre risposte

Aggiunto 23 minuti più tardi:

quesito b
forse è scritta così?
1)

[math]x^{2}+\frac{3x - 10}{5x - 15}[/math]

> 0
oppure così
2) x^ + 3x -

[math]\frac{10}{5x}[/math]

- 15 = 0

Aggiunto 23 minuti più tardi:

Quesito 3 - b
E' scritta così?
7x^ -

[math]\frac{x + 1}{x - 3}[/math]

> 0
in questo caso usa le parentesi
7x(quadro) - (x + 1)/(x - 3) >0

Aggiunto 2 ore 26 minuti più tardi:

Quesito 4
una funzione lineare di terzo grado contenente anche la x al quadrato e/o la x individua sempre una curva che da meno infinito sale fino ad un massimo (relativo) poi ridiscende per un po' fino ad un minimo (relativo) e poi risale a più infinito (questo se il coeff. di terzo grado è positivo). Se è negativo la curva fa il contrario: scende, risale per un po' e poi "sprofonda" verso il meno infinito.
Se invece l'incognita compare SOLO alla terza (con o senza un termine noto) allora la curva è rappresentata da due mezze "parabole" unite per il vertice una che sale dal basso da meno infinito fino al vertice e l'altra (sempre partendo dal vertice) che riprende a salire fino a più infinito. Cerco di spiegarmi meglio: immagina di prendere una parabola rivolta verso l'alto e di girare la parte di sinistra in basso ruotandola sul vertice.
La "pendendenza" di una curva, cioè dove la curva cresce, dove decresce e dove è "stazionaria" (massimi e minimi relativi o flessi orizzontali) la troviamo con la derivata prima. La derivata prima ci fornisce il coefficiente angolare della retta tangente alla curva. Immagina di guardare DI NOTTE da lontano una macchina che va su una strada di collina. Al buio NON VEDI la strada (la funzione) ma vedi il fascio di luce dei fari (la tangente): se il fascio dei fari punta verso l'alto, allora IN QUEL PUNTO la strada è in salita (la funzione cresce). Se i fari puntano in basso la strada scende (la funzione decresce) se SONO ORIZZONTALI i casi sono tre:
o è finita una piccola discesa e ricomincia la salita (minimo relativo)
o al contrario l'auto sta scollinando (massimo relativo)
oppure (come nel caso di un pianerottolo a metà scala) continua a salire (o a scendere) ma per un istante è orizzontale (flesso orizzontale)
Quindi si calcola la derivata prima di una funzione, si analizza (si guarda, si calcola) il segno di questa derivata e dove la derivata è positiva la funzione di partenza cresce, dove la derivata è negativa la funzione decresce, dove la derivata è zero abbiamo i punti critici (max, min, flex). Per decidere cosa fa la funzione si guarda cosa fa la derivata prima e dopo ogni singolo punto critico.
Se prima è negativa e dopo positiva = MINIMO RELATIVO
se prima è positiva e dopo è negativa = MASSIMO RELATIVO
se è positiva sia prima che dopo = FLRSSO ASCENDENTE
se è negativa sia prona che dopo = FLESSO DSISCENDENTE
Come vedi sto usando esempi banali per spiegarti COME ragionare evitando l'obbligo di imparare a memoria tutta una tabella di casi puramente algebrica

Aggiunto 22 minuti più tardi:

continua quesito 4
la derivata prima della nostra funzione è:
y' = 5(3x^) - 3(2x) = 15x^ - 6x (x^= x quadro)
la funzione cresce quando
y' > 0 cioè 15x^ - 6x > 0 ;
la funzione decresce quando
y' < 0 cioè 15x^ - 6x < 0 ;
Quando:
y' = 0 avremo o un max o un min o un flex
Partiamo da
y' = 0
15x^ - 6x = 0
3x(5x - 2) = 0
x1 = 0
x2 = 2/5
perché un prodotto è uguale a zero se ALMENO uno dei fattori è zero.
La funzione y' (derivata) sarà dunque POSITIVA all'esterno dell'intervallo delle due soluzioni. quindi dove la derivata è positiva la funzione cresce e dove la derivata è negativa la funzione decresce.
Il punto x1 = 0 è un massimo relativo perché la derivata a sinistra è positiva e a destra è negativa (salita + discesa = massimo)
il punto x2 = 2/5 è un minimo perché a sinistra di 2/5 la derivata è ancora negativa mentre a destra del punto 2/5 la derivata è positiva (discesa + salita = minimo)
Ora calcoliamo le "QUOTE" cella curva (e della funzione) nei due punti:
x1 = 0 allora y1 = 0
x2 = 2/5 allora y2 = - 4/25 ,
se ho fatto bene i conti a mente.
Se non capisci qualcosa non preoccuparti, non è colpa tua ma sono io che mi sono spiegato male. Quindi fammi sapere ogni dubbio o perplessità che tu possa avere e io cercherò di essere più chiaro.
Ciao, Carlo

[sabino77]

Grazie mille, delle risposte...me le sto studiando...anche se dovrei sapere pure le derivate non sono un gran chè in matematica...

Per i quesiti che non ho scritto bene te li riscrivo sotto:
1)

x(quadro)+3x-10 x-3

grazie ancora intanto studio e poi ti faccio sapere

[carlogiannini]

Bene. Un consiglio: Quando vuoi indicare "tutto questo" usa le parentesi, che servono prorpio a riunire più termini in un "oggetto" unico:
(x +1):(x - 3) oppure (x + 1)/(x - 3).
E' più semplice ma soprattutto e' algebricamente corretto.

Aggiunto 47 minuti più tardi:

Non so se i primi disegni ti sono arrivati. Rirpovo.

[sabino77]

ecco le prime domande scusa se le trovi stupide ma ho parecchie lacune...

1) quesito nella disequazione per dire che x1=+3/5 hai usato la formula x=-b/2a GIUSTO? per trovare x2=1 che formula hai usato?

2) nella derivata y1=0 l'ho capito ma y2=-4/25 come lo hai calcolato??

Penso di avere dei buchi proprio sulle equazioni...

Di grafici ne ho ricevuti tre grazieeee!

Sto calcolando la derivata di y=5x+2 mi viene y=5 è giusto?

[carlogiannini]

(1) no, è sbagliato. Nelle equazioni di secondo grado si usa la formula:
-b più o meno radice di (b al quadrato meno quattro a per c) tutto diviso 2a.
facendo -b - radice ecc. trovi x1
facendo -b + radice ecc. trovi x2
----
la derivata è giusta

Aggiunto 2 ore 54 minuti più tardi:

y1 e y2 sono i valori della funzione di partenza nei punti
x1 = 0,
x2 = 2/5.
Cioè devi sostituire il numero "0" al posto della "x" NELLA FUNZIONE e il numero che trovi è y1.
Poi sostituisci il numero 2/5 al posto della "x" riprendendo la stessa funzione e il numero che trovi è y2.
Quindi hai trovato le quattro coordinate dei due punti:
A=(x1;y1) e
B=(x2;y2)

Aggiunto 18 ore 1 minuto più tardi:

Dominio di una funzione.
Il dominio di una funzione (campo di esistenza) indica e individua DOVE la funzione esiste (e quindi anche DOVE la funzione NON esiste).
Siccome una funzione
y = f(x)
è data da una espressione algebrica contenente appunto l'incognita "x", si tratta di vedere SE e QUANDO questa espressione algebrica NON SI PUO' calcolare, cioè SE ci sono dei valori della "x" che rendono impossibile eseguire i calcoli per trovare in corrispondente valore della "y".
Ora, gli unici calcoli che NON si possono eseguire (nel campo dei numeri Reali) sono:
1) dividere un numero per "zero",
2) la radice PARI (quadrata, quarta, sesta, ecc.) di un numero NEGATIVO.
Quindi LA PRIMA COSA DA FARE SEMPRE è controllare se ci sono:
1) frazioni con la "x" al denominatore;
2) radici PARI contenenti la "x".
Quindi, se ci sono frazioni del tipo (1) bisogna porre la condizione che TUTTI i denominatori siano DIVERSI DA ZERO.
Nel caso dell'esercizio 2 devi porre:

[math]x^{2}[/math]

[math]\not{=}[/math]

0
da cui si ricava
x

[math]\not{=}[/math]

0.
Quindi il Dominio di questa funzione è TUTTO R TRANNE IL PUNTO ZERO, cioè
R -{0}.
Se compare una radice, devi porre
"argomento della radice"

[math]\not{=}[/math]

0.
Esempi
se nella funzione trovi

[math]\sqrt{3+x}[/math]

devi calcolare
3 + x

[math]\ge[/math]

0
quindi
x

[math]\ge[/math]

-3.
ATTENZIONE: se la radice è al DENOMINATORE, Deve essere STRETTAMENTE MAGGIORE di ZERO, cioè (come abbiamo visto nel caso 1) dobbiamo SCARTARE i valori che annullano i denominatori, quindi in questo caso devi porre
3 + x > 0
x > -3
Se la funzione NON contiene
1) frazioni con la "x" al denominatore;
2) radici PARI contenenti la "x"
allora puoi affermare che la funzione esiste SEMPRE, quindi che il Dominio coincide con R, senza bisogno di fare nessun calcolo.

Aggiunto 5 ore 17 minuti più tardi:

scusa, ho sbagliato a scrivere.
dove dico:
Se compare una radice, devi porre
"argomento della radice" ⧸= 0
volevo scrivere:
Se compare una radice, devi porre
"argomento della radice" ≥ 0