Compito di geometria analitica: DISASTRO!
Buon pomeriggio a tutti/e! 
In questo bianco innevato freddo pomeriggio di novembre, quando fuori si respira già l'atmosfera del Natale, sto qua a domandarvi aiuto
.
Oggi abbiamo avuto compito di matematica, sulla circonferenza sul piano cartesiano. C'erano quattro quesiti e due problemi, ma non penso sia andata molto bene
Vorrei rifare con voi qualche esercizio della verifica, se non tutti.
Ma prima di cominciare, ho un problema che non c'entra niente col compito.
"Determinare la circonferenza che passa per $C(3; 1)$, nel fascio di circonferenze passante per $A(-1; 2)$ e $B(2; 0)$"
Qui non so cosa fare, a parte disegnare il grafico coi tre puntini.
E' un problema gravissimo che mi affligge, perché non ho mai capito né i fasci di rette (fatti dal prof qualche settimana fa), né quelli di circonferenze (che sono ancora peggio, a mio avviso; chissà come saranno gli altri
). Non so quali circonferenze considerare generatrici e mi impappino con gli assi radicali e punti base.
Chi mi da un manina per questo piccolo problema iniziale?
Grazie in anticipo
e... buon Natale!
In questo bianco innevato freddo pomeriggio di novembre, quando fuori si respira già l'atmosfera del Natale, sto qua a domandarvi aiuto
.Oggi abbiamo avuto compito di matematica, sulla circonferenza sul piano cartesiano. C'erano quattro quesiti e due problemi, ma non penso sia andata molto bene
Vorrei rifare con voi qualche esercizio della verifica, se non tutti.
Ma prima di cominciare, ho un problema che non c'entra niente col compito.
"Determinare la circonferenza che passa per $C(3; 1)$, nel fascio di circonferenze passante per $A(-1; 2)$ e $B(2; 0)$"
Qui non so cosa fare, a parte disegnare il grafico coi tre puntini.
E' un problema gravissimo che mi affligge, perché non ho mai capito né i fasci di rette (fatti dal prof qualche settimana fa), né quelli di circonferenze (che sono ancora peggio, a mio avviso; chissà come saranno gli altri
). Non so quali circonferenze considerare generatrici e mi impappino con gli assi radicali e punti base.Chi mi da un manina per questo piccolo problema iniziale?
Grazie in anticipo
e... buon Natale!
Risposte
Mi sembra che tu abbia avuto un brutto incontro con i fasci. Mi sbaglio?
Se pensi ai fasci dal punto di vista algebrico sono, invece, una cosa molto semplice: se in una curva conosco un parametro in meno di quelli che mi servono per determinarla allora ho un fascio. Nel caso di una retta servono 2 parametri, $m$ e $q$, se ne conosco solo 1 allora ho un fascio di rette (per il momento lasciamo stare i fasci generati da 2 rette, che con il loro significato geometrico incasinano l'algebra).
Nel caso della circonferenza servono 3 dati, se ne ho solo 2 ho un fascio di circonferenze nel quale ci sono tutte le circonferenze che verificano quelle due condizioni, e sono infinite, solo la terza condizione mi permette di individuare di solito una sola curva, qualche volta 2, qualche altra nessuna e il problema diventa impossibile.
Andiamo ora con il problema.
Per prima cosa bisogna trovare il fascio di circonferenze passanti per A e B, con la condizione di appartenenza dei punti alla circonferenza riesci ad individuare due equazioni nei 3 parametri. Prova.
Se pensi ai fasci dal punto di vista algebrico sono, invece, una cosa molto semplice: se in una curva conosco un parametro in meno di quelli che mi servono per determinarla allora ho un fascio. Nel caso di una retta servono 2 parametri, $m$ e $q$, se ne conosco solo 1 allora ho un fascio di rette (per il momento lasciamo stare i fasci generati da 2 rette, che con il loro significato geometrico incasinano l'algebra).
Nel caso della circonferenza servono 3 dati, se ne ho solo 2 ho un fascio di circonferenze nel quale ci sono tutte le circonferenze che verificano quelle due condizioni, e sono infinite, solo la terza condizione mi permette di individuare di solito una sola curva, qualche volta 2, qualche altra nessuna e il problema diventa impossibile.
Andiamo ora con il problema.
Per prima cosa bisogna trovare il fascio di circonferenze passanti per A e B, con la condizione di appartenenza dei punti alla circonferenza riesci ad individuare due equazioni nei 3 parametri. Prova.
Non sbagli, un tragico incontro.
Ok, leggendo attentamente le tue spiegazioni forse mi sono chiarita un po’ le idee, almeno per questi due fasci che ho studiato fino ad adesso (rette e circonferenze). Però, una cosa te la chiedo: quali sono le tre condizioni del fascio di circonferenze? I coefficienti delle variabili di primo grado e il termine noto, giusto? Penso di sì.
Andiamo al problemino. In questo caso le generatrici sono secanti in A e B, se non vado errata. E questi sono i punti base del fascio. Bene. E l’asse radicale è la retta che passa per tali punti. Ma non c’entra l’asse radicale. Essi appartengono alle circonferenze se appartengono al luogo geometrico (wow, che deduzione! ^^). Allora, calma. Sostituisco le coordinate in $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ? No, non sono sicura
Ok, leggendo attentamente le tue spiegazioni forse mi sono chiarita un po’ le idee, almeno per questi due fasci che ho studiato fino ad adesso (rette e circonferenze). Però, una cosa te la chiedo: quali sono le tre condizioni del fascio di circonferenze? I coefficienti delle variabili di primo grado e il termine noto, giusto? Penso di sì.
Andiamo al problemino. In questo caso le generatrici sono secanti in A e B, se non vado errata. E questi sono i punti base del fascio. Bene. E l’asse radicale è la retta che passa per tali punti. Ma non c’entra l’asse radicale. Essi appartengono alle circonferenze se appartengono al luogo geometrico (wow, che deduzione! ^^). Allora, calma. Sostituisco le coordinate in $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ? No, non sono sicura
No, no, posso trovarmi il diametro AB, dividerlo a metà (e ottengo il raggio), e trovarmi il punto medio. Ma così trovo centro e raggio di quale circonferenza? O.o
La ciconferenza passa per $A(-1, 2)$, allora dall'equazione generale ricavo $1+4-a+2b+c=0$
La ciconferenza passa per $B( 2,0)$, allora dall'equazione generale ricavo $4+2a+c=0$
Adesso dalla seconda equazione ricavo $c$ e lo sostituisco nella prima$c=-2a-4$ per cui la prima equazione diventa $5-a+2b-2a-4=0$, cioè $ 2b-3a+1=0$, adesso ricavo anche $b$in funzione di $a$, $b=(3a-1)/2$
Dall'equazione generale posso ricavare il fascio passante per A e B $x^2+y^2+ax+(3a-1)/2 y-2a-4=0$ che contiene ancora un parametro perché avendo due soli dati non posso calcolare tutti e tre i parametri, ma solo 2.
Certo, per arrivare a questo fascio potevo procedere per altre vie, magari sfruttando proprietà della circonferenza, ma volevo portarti per la strada più semplice, anche se non sempre la più breve.
La ciconferenza passa per $B( 2,0)$, allora dall'equazione generale ricavo $4+2a+c=0$
Adesso dalla seconda equazione ricavo $c$ e lo sostituisco nella prima$c=-2a-4$ per cui la prima equazione diventa $5-a+2b-2a-4=0$, cioè $ 2b-3a+1=0$, adesso ricavo anche $b$in funzione di $a$, $b=(3a-1)/2$
Dall'equazione generale posso ricavare il fascio passante per A e B $x^2+y^2+ax+(3a-1)/2 y-2a-4=0$ che contiene ancora un parametro perché avendo due soli dati non posso calcolare tutti e tre i parametri, ma solo 2.
Certo, per arrivare a questo fascio potevo procedere per altre vie, magari sfruttando proprietà della circonferenza, ma volevo portarti per la strada più semplice, anche se non sempre la più breve.
Grazie!
Ma potevo anche procedere come ho accennato nel mio ultimo post?
Ma potevo anche procedere come ho accennato nel mio ultimo post?
Se ti consola oggi in verifica avevo un problema dove dovevo trovare una parabola ponendo una condizione di tangenza, una roba considerata facile in quinta.. non so come ma mi sono completamente scordato come si faceva, risultato: se la verifica ve bene posso prendere al massimo 6 e tante mazzate per la stupidata
"Fiammetta.Cerise":
Ma potevo anche procedere come ho accennato nel mio ultimo post?
In quel caso non trovi certo il fascio, ma solo la circonferenza di diametro AB, che solo una delle circonferenze del fascio.
Ho capito @melia, grazie della dritta. Tra un po' scriverò un esercizio del compito, compito di latino permettendo
@Giant_Rick: Ahah, spero ti sia andata comunque bene! Che scuola frequenti?
@Giant_Rick: Ahah, spero ti sia andata comunque bene! Che scuola frequenti?
"Fiammetta.Cerise":
@Giant_Rick: Ahah, spero ti sia andata comunque bene! Che scuola frequenti?
La parte su infinitesimi e teoremi vari dovrebbe essere andata bene, ho capito il procedimento logico. Forse c'è qualche errore nei calcoli..
Faccio il liceo scientifico PNI, che ora non esiste più.
Siamo quasi dello stesso indirizzo allora, soltanto che tu sei scientifico pni e io classico pni!
Entrambi vittime del piano nazionale per l'informaticaaa (che poi, non se da te, noi non abbiamo praticamente mai fatto)! ;(
Entrambi vittime del piano nazionale per l'informaticaaa (che poi, non se da te, noi non abbiamo praticamente mai fatto)! ;(
@melia ti ha suggerito un modo per ottenere il fascio di circonferenze; è bene avere più frecce nel proprio arco, quindi te ne suggerisco un altro. Trovi due qualsiasi circonferenze del fascio, e possono essere proprio quelle di cui hai parlato e cioè la circonferenza di diametro AB e la retta AB, che è l'asse radicale. Salvo errori di calcolo, ottieni le due equazioni $x^2+y^2-x-2y-2=0$ e $2x+3y-4=0$; l'equazione del fascio è data dalla generica loro combinazione lineare, cioè da
$x^2+y^2-x-2y-2+k(2x+3y-4)=0$
E' una formula diversa da quella ottenuta da @melia, ma una tipicità dei fasci è che la loro equazione può essere scritta in infiniti modi diversi.
$x^2+y^2-x-2y-2+k(2x+3y-4)=0$
E' una formula diversa da quella ottenuta da @melia, ma una tipicità dei fasci è che la loro equazione può essere scritta in infiniti modi diversi.
Zero informatica, peccato; se non altro abbiamo fatto molte ore di matematica rispetto all' ordinamento classico.
Fammi capire, tu fai il classico (ginnasio?!) PNI?
Fammi capire, tu fai il classico (ginnasio?!) PNI?
@Giant_Rick: il mio, come il tuo, è un indirizzo che non esiste più. E' un liceo classico normalissimo (con greco e latino) ma faccio il programma di matematica dei licei sperimentali pni, non quello ordinario. E come se non bastasse, siccome sono in Valle d'Aosta, aggiungono una materia: francese, che è la nostra seconda lingua. Quindi ne esce un maxisperimentazione alquanto disastrata . Comunque non sono al ginnasio, bensì in prima liceo: penso quindi di avere la tua stessa età
@giammaria: grazie, sei stato illuminante!
. Comunque non sono al ginnasio, bensì in prima liceo: penso quindi di avere la tua stessa età @giammaria: grazie, sei stato illuminante!
Allora, bando alle ciance, cominciamo.
Il terzo quesito del compito era una disequazione irrazionale da risolvere graficamente: $sqrt(1-x^2)+1>|2-x|$. Penso di averla fatta giusta, almeno questa.
Ho sciolto prima il modulo. Mi sono venuti i due sistemi legati dall'unione. Mi conveniva far così, giusto?
Il terzo quesito del compito era una disequazione irrazionale da risolvere graficamente: $sqrt(1-x^2)+1>|2-x|$. Penso di averla fatta giusta, almeno questa.
Ho sciolto prima il modulo. Mi sono venuti i due sistemi legati dall'unione. Mi conveniva far così, giusto?
[asvg]xmin = -2; xmax = 2; ymin = -2; ymax = 2; axes( ); circle([0, 0], 1); plot("y=1-x"); strokewidth="2"; ymin=0; ymax=2; circle([0, 0], 1);[/asvg]
Questo è il grafico in questione. Mi sono accorta che forse l'ho fatto giusto senza sapere come. Si tratta di trovare le ascisse dei punti della semicirconferenza in grassetto le cui ordinate sono maggiore delle ordinate dei punti corrispondenti (cioè con ascissa uguale) della retta. La frase la so dire. Ma cioè? Non capisco bene
Questo è il grafico in questione. Mi sono accorta che forse l'ho fatto giusto senza sapere come. Si tratta di trovare le ascisse dei punti della semicirconferenza in grassetto le cui ordinate sono maggiore delle ordinate dei punti corrispondenti (cioè con ascissa uguale) della retta. La frase la so dire. Ma cioè? Non capisco bene
"Fiammetta.Cerise":
@Giant_Rick: il mio, come il tuo, è un indirizzo che non esiste più. E' un liceo classico normalissimo (con greco e latino) ma faccio il programma di matematica dei licei sperimentali pni, non quello ordinario. E come se non bastasse, siccome sono in Valle d'Aosta, aggiungono una materia: francese, che è la nostra seconda lingua. Quindi ne esce un maxisperimentazione alquanto disastrata
Che roba strana! Mischiare latino e greco con matematica.. secondo me sono due licei inconciliabili.
Io sono in quinta, tu in terza..
E' tutto giusto; non vedo il grassetto, ma suppongo che l'intenzione fosse metterlo nel primo e secondo quadrante. Unico neo, non occorrono due sistemi legati dall'unione (e infatti non li hai fatti): deve esistere la radice, quindi $-1<=x<=1$ e ne consegue che $2-x$ è positivo. La disequazione diventa quindi
$sqrt(1-x^2)+1>2-x->sqrt(1-x^2)>1-x$.
Chiedi chiarimenti su quello che segue e provo a darteli. Posto $y_1=sqrt(1-x^2)$ e $y_2=1-x$, vuoi che sia $y_1>y_2$, cioè che la prima curva stia al di sopra della seconda; ti chiedi per quali $x$ avviene e lo deduci dal grafico. Per i grafici mi pare che tu non abbia difficoltà e quindi non dico altro.
$sqrt(1-x^2)+1>2-x->sqrt(1-x^2)>1-x$.
Chiedi chiarimenti su quello che segue e provo a darteli. Posto $y_1=sqrt(1-x^2)$ e $y_2=1-x$, vuoi che sia $y_1>y_2$, cioè che la prima curva stia al di sopra della seconda; ti chiedi per quali $x$ avviene e lo deduci dal grafico. Per i grafici mi pare che tu non abbia difficoltà e quindi non dico altro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo