Compiti per le vacanze: problema di goniometria

[Lucrezio1]

Salve a tutti, sono alle prese con i compiti per le vacanze di matematica!
Ho un problema con questo esercizio a più punti:
Mi viene data la funzione definita per casi $f(x)={(arcsin|x| ^^ x<=0),(|secx|+3 ^^ x>0):}$.
A un certo punto mi chiedono di trovare l'insieme più ampio in cui la funzione è invertibile, e poi di determinare $f(x)^(-1)$ e di rappresentarla graficamente...
allora, io ho disegnato f(x), e so che una funzione è invertibile quando il suo grafico è monotòno, quindi osservando il mio grafico l'intervallo sarebbe $[0, pi/2[$, ma il libro mi dice $]-1, pi/2[$, quando in realtà io vedo che in questo intervallo compare un arco di arcosinusoide nel secondo quadrante (decrescente) e poi nel primo un arco crescente... Cos'ho sbagliato?

E poi, per invertire:
1) $y=arcsin|x| --> x=arcsin|y| --> sinx=|y| --> y=+-sinx $, adesso come faccio a decidere se mettere il + o il -?

[@melia]

Sono d'accordo che una funzione monotona è invertibile, ma non vale in viceversa, una funzione può essere invertibile anche senza essere monotona, l'importante è che sia iniettiva, cioè valori distinti della x abbiano immagini distinte.