Come si risolve?

[Beatrice210]

caclola i coefficienti della funzione


y= ax/(bx+c)


sapendo che passa per il punto P(-1;1/2);

e nel punto di ascissa x=0 ha come tangente una retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

[Beatrice210]

come mai nessuno vuole aiutarmi?

[axpgn]

Primo: nessuno è obbligato, risponde chi vuole quando può.
Secondo: hai sbagliato sezione.
Terzo: in questo forum non si risolvono esercizi ma si aiuta a risolvere, quindi quali sono i tuoi tentativi?
Hai due punti e conosci la tangente in uno di questi: tre equazioni per tre incognite.

[Beatrice210]

Io ho calcolato la derivata e l'ho posta uguale a -1

Poi ho sostituito il punto ma non capisco quale sia il terzo dato da considerare per avere un sistema a tre incignite

[axpgn]

Era una risposta generica, in pratica non ti serve o meglio è necessaria una terza equazione se vuoi determinare esattamente i valori dei tre parametri (e in effetti per fare questo mi pare che manchino dati) ma quelli che ci sono sono sufficienti per determinarli in funzione di uno di essi ed è perciò possibile disegnare la curva.
Il testo è esattamente quello?

Per esempio tre valori che soddisfano le condizioni sono $a=-1, b=-3, c=1$

EDIT: correggo ... $b=-1$

[Beatrice210]

Si si il testo è quello
Non una virgola di più
Io ho solo ipotizzato all'inizio che poiché x=0,se sostituisco ottengo che il punto di tangenza è il centro degli assi... Quindi ho presunti che la bisettrice e la retta tangente sono coincidenti...

[axpgn]

Scrivi quello che hai fatto in dettaglio, così vediamo dove sei arrivata ed eventuali problemi ... hai letto la mia correzione? hai compreso quello che ho fatto?

[Beatrice210]

-1a/(-1b+c)=1/2
[a(bx+c)-ax(b)]/(bx+c)^2= -1
Il terzo non ne ho idea da dove prenderlo

[axpgn]

"Beatrice2":Il terzo non ne ho idea da dove prenderlo

Il terzo ci sarebbe ... $x=0, y=0$ ... ma di fatto non serve a molto (almeno per me ...)

Se racchiudi le formule tra i simboli del dollaro (e usando le parentesi) vengono così ...
$(-1a)/(-1b+c)=1/2$ e $y'=[a(bx+c)-ax(b)]/(bx+c)^2$

La prima diventa $-2a=c-b$ mentre la seconda, sostituendo $x=0$ diventa $(ac)/c^2=-1\ ->\ a/c=-1\ ->\ a=-c$ e sostituendo nella prima otteniamo $b=-c$ e quindi le soluzioni (generiche) sono $a=b=-c$ ... basta fissare uno di questi ed ottieni la tua curva (sempre la stessa qualunque valore tu dia a una delle variabili per poi ricavarti le altre).

Per trovare tre valori puntuali mi pare manchi qualcosa ... vediamo se qualcuno interviene ...

[Beatrice210]

Io avevo dimostrato che a=b
Perché entrambi sono uguali a "-c"
E ho provato a riscrivere l'equazione y=ax/(ax+c) e a ragionarci così ma niente.

[axpgn]

"Beatrice2":Perché entrambi sono uguali a "-c"

Te l'ho scritto qui

"axpgn":... mentre la seconda, sostituendo $ x=0 $ diventa $ (ac)/c^2=-1\ ->\ a/c=-1\ ->\ a=-c $ ...

[Beatrice210]

[axpgn]

Scusa, eh ... ma è proprio la soluzione che abbiamo detto ... se $a=b=-c$ basta porre $a=1$ (che è la "suggestione" più ovvia) ed ottieni proprio $y=x/(x-1)$ ...

[Beatrice210]

Non ne sono convinta... Per niente... Secondo me bisogna calcolarlo

[JackMek]

"Beatrice2":Io avevo dimostrato che a=b
Perché entrambi sono uguali a "-c"
E ho provato a riscrivere l'equazione y=ax/(ax+c) e a ragionarci così ma niente.

Perché ragionare solo su $y = (ax) / (ax+c)$
Se sai che $ c = -a $ ?

[axpgn]

"Beatrice2":Non ne sono convinta... Per niente... Secondo me bisogna calcolarlo

Scusami, Beatrice ma $x/(x-1)=(2x)/(2x-2)=(3x)/(3x-3)=(4x)/(4x-4)=.....=(27413x)/(27413x-27413)$ ... convinta?

La versione $x/(x-1)$ è quella ridotta ai minimi termini ... e il grafico è sempre il medesimo ovvero la curva è unicamente determinata ...

[sandroroma]

Puoi anche sostituire $a$ e $b$ con $-c$ direttamente nella funzione ed hai:
$y=\frac{-cx}{-cx+c}$
Mettendo a denominatore $-c$ in evidenza:
$y=\frac{-cx}{-c(x-1)}$
Semplificando per $-c$ (che non può essere nullo):
$y=\frac{x}{x-1}$
indipendentemente dal valore di c.

[Erasmus_First]

"Beatrice2":come mai nessuno vuole aiutarmi?

Ti aiuto io!
[Non so che classe fai, non so quanta "geometria analitica" conosaci già e se hai già studiato le "ipèrboli".
Comunque, quella è l'equaziuone di una iperbole.]
Nota subito che deve essere $a ≠0$ (se no verrebbe $y=0$ e non potrebbe più essere $y = 1/2$ per $x = -1$).

"axpgn":[...] tre equazioni per tre incognite.

Occhio! Qui c'è qualcosa ... che induce a pensare sbagliato!
Se moltiplichi e dividi il membro destro per la medesima costante $k$ arbitraria purché diversa da zero non cambia l'iperbole .Perciò, supposto di conoscere i valori di $a$, $b$ e $c$, al posto di scrivere
$y = (ax)/(bx + c)$
potresti scrive (equivalentemente):
$y = ((ka)x)/((kb)x + (kc))$.
Tanto vale, allora, assumere $a = 1$ e quindi le equazioni da scrivere sono due e non tre (e le incognite da trovare sono due: $b$ e $c$).
Riassumendo. L'equazione della curva è ora
$y = x/(bx + c)$ (*)
e bisogna trovarea $b$ e $c$ sapendo che:
1) Per $x = -1$ è $y = 1/2$;
2) La derivata $y' $ vale $-1$ in $x=0$.
Dalla condizione 1) abbiamo:
$1/2 = -1/(-b+c)$ ⇒ $-b+c = -2$ ⇔ $c = b-2$. (**)
Possiamo allora eliminare $c$ e scrivere
$y = x/(bx + b-2) $
e quindi
$y'= (bx+b-2-bx)/(bx+b-2)^2 = (b-2)/(bx + b-2)^2$ ⇒ $y'(0) = 1/(b-2)$.
Con ciò, dalla condizione 2) abbiamo infine:
$y'(0) ≡ 1/(b-2) = -1$ ⇒ $b = 1$.
Siccome era $c = b-2$, (come si vede nella formula (**)), risulta $c=-1$.
In definitiva abbiamo trovato l'equazione;
$y = x/(x-1)$.

_______

[axpgn]

@Erasmus
Ma tu li leggi tutti i post o solo quelli che ti interessano?