Come risolvere valore assoluto del valore assoluto?

[LucaX90]

Valore assoluto del valore assoluto?

Ad esempio |2x-|x+3||=0, cosa faccio?

E se il valore assoluto fosse al denominatore come ( |x+3|+ |2-x|) / (x^2-2|x|-3)?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

1. L'equazione

[math]|2x-|x+3||=0[/math]

la si risolve ragionando un attimino.
Insomma, quand'è che un'espressione modulare si annulla? Quando si annulla
il proprio argomento!! Quindi si ha

[math]\small |2x-|x+3||= 0 \Leftrightarrow 2x-|x+3|=0[/math]

,
etc etc.

2. Supponiamo si voler risolvere la disequazione

[math]\frac{|x+3|+|2-x|}{x^2-2|x|-3}\ge 1\\[/math]

.

Studiando la positività degli argomenti dei moduli, si evince che:

[math]
\begin{aligned}
& x+3 \ge 0 \; \Rightarrow \; x \ge -3 \; \; - \, - \, [-3] \, + \, + \, + \, + \, + \, + \, + \, + \, + \\
& 2-x \ge 0 \; \Rightarrow \; x \le 2 \; \; \; \; \; +\,+\, \, + \, + \, + \, + \, + \, + \, + \, [2] \, - \, - \\
& x \ge 0 \; \; \; \; \; \; \; \Rightarrow \; x \ge 0 \; \; \; \; \; -\,-\, - \, - \, - \, - \, [0] \, + \, + \, + \, + \, +\\
& \; \; \; \; \; \; CASI \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 1° \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2° \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 3° \; \; \; \; \; \; \; \; \; 4° \\
\end{aligned}\\
[/math]

Quindi, la soluzione della disequazione in oggetto equivale a quella di:

[math]\begin{cases} x < - 3 \\ \frac{-(x+3)+(2-x)}{x^2+2x-3}\ge 1 \end{cases} \, \cup \, \begin{cases} -3\le x < 0 \\ \frac{+(x+3)+(2-x)}{x^2+2x-3}\ge 1 \end{cases} \, \cup \, \\[/math]

[math]\begin{cases} 0 \le x \le 2 \\ \frac{+(x+3)+(2-x)}{x^2-2x-3}\ge 1 \end{cases} \, \cup \, \begin{cases} x > 2 \\ \frac{+(x+3)-(2-x)}{x^2-2x-3}\ge 1 \end{cases} \; . \\[/math]

Spero sia chiaro ;)