Come riconoscere se una funzione è pari o dipari?

[-selena-]

ad esempio

[math]x^4-3x^5 [/math]

fratto

[math]x^3-x[/math]

non è nè pari nè dispari

poi x^2 - 2 fratto 3x^4-1 è pari
e x^4 -2x^2+2 fratto x^3 -3x ? grazie

ps = scrivere

[math]\frac{x^4+3^5}{-x^3+x}[/math]

è come scrivere

[math]-\frac {x^4+3^5}{x^3-x}[/math]

o sono due cose diverse? grazie

Aggiunto 42 minuti più tardi:

Grazie 1000...quindi la prima è pari o dispari? :S e quando non è nè pari nè dispari?

facendo un altro esempio

[math]\frac{x^3+x^5}{x^4-x^2}[/math]

...questa è peri mentre

[math]\frac{x^3+x^2}{x^4-x^2}[/math]

com'è??

Grazie moltissimo e scusa per il disturbo ;)

Aggiunto 2 ore 15 minuti più tardi:

Grazie 1000

[BIT5]

Allora:

Per sapere se una funzione e' pari o dispari (o nessuna delle due) devi sostituire a tutte le x, il valore -x

Quindi

[math] f(x)= \frac{x^4-3x^5}{x^3-x} [/math]

Per prima cosa, raccogli x a numeratore e denominatore ottieni

[math] \frac{x^4(1-3x)}{x(x^2-x)} = \frac{x^3(1-3x)}{x^2-x} [/math]

Ora sostituisci -x a tutte le x

[math] f(-x)= \frac{(-x)^3(1-3(-x))}{(-x)^2-(-x)} [/math]

E dunque ..... (-x)^3 mantiene il segno (quindi = -x^3)
mentre (-x)^2 diventa positiva (x^2)

quindi

[math] f(-x)= \frac{-x^3(1+3x)}{x^2+x} [/math]

A questo punto fai cosi'..

Controlla che tutti i segni che all'inizio erano diversi, lo siano ancora

(ovvero ad esempio.... il numeratore aveva x^3positivo, 1 positivo e -3x negativo;
ovvero x^3 e 1 concordi (ovvero stesso segno) e -3x discorde (ovvero segno diverso)

Se la nuova funzione presenta gli stessi segni concordi (ovvero TUTTO quello che era concorde e' ancora concorde (positivo o negativo non importa) allora la funzione e' o pari o dispari

In questo caso, banalmente, come vedi, al denominatore avevi un + (x^3) e un - (x) mentre al nuovo denominatore hai + e +

Puoi fermarti li'...

Aggiunto 1 minuti più tardi:

La seconda:

sostituiamo -x e calcoliamo

[math] f(-x)= \frac{(-x)^2-2}{3(-x)^4-1} = \frac{x^2-2}{3x^4-1} [/math]

Come puoi vedere siamo tornati alla funzione iniziale (infatti (-x) a esponente pari e' uguale a +x a quell'esponente)

La funzione e' pari

Aggiunto 3 minuti più tardi:

[math] \frac{x^4 -2x^2+2}{x^3 -3x} [/math]

Anche qui calcoliamo:

[math] \frac{(-x)^4-2(-x)^2+2}{(-x)^3-3(-x)} [/math]

Anche qui e' una frazione...

[math] \frac{x^4-2x^2+2}{-x^3+3x} [/math]

Il numeratore come vedi e' identico.
Il denominatore no, ma come vedi, mantiene i segni discordi (i due monomi avevano segno diverso, prima, e anche ora (anche se al contrario)

Raccogliamo allora al denominatore un segno meno...

[math] \frac{x^4-2x^2+2}{-(x^3-3x)} [/math]

Il meno davanti a tutto il denominatore puoi portarlo "sopra" (ovvero davanti alla frazione)

[math] - \frac{x^4-2x^2+2}{x^3-3x} [/math]

Come vedi la frazione e' identica, ma c'e' un meno davanti (ovvero abbiamo -f(x))

La funzione e' dispari.

Credo di averti risposto anche all'ultimo quesito con questo calcolo ;)

Aggiunto 2 ore 8 minuti più tardi:

La prima che hai messo non e' pari..

Infatti il denominatore rimane uguale, se fai la sostituzione con (-x) mentre il numeratore e' con tutti i segni invertiti. Pertanto puoi raccogliere un segno meno la numeratore, ed avere la funzione invariata ma con un meno davanti.

La prima che hai scritto e' dispari.

La seconda non e' ne' pari ne' dispari..

Forse e' opportuno che io ti spieghi cosa significa funzione pari o dispari (o nulla)

Una funzione e' pari se e' simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.

Pertanto una volta capito il comportamento della funzione da 0 a + infinito, possiamo "copiare" in maniera simmetrica la funzione anche da -infinito a zero.

Pertanto l'asse y e' asse di simmetria della funzione (guarda ad esempio f(x)=x^2)

Una funzione e' dispari se e' simmetrica rispetto all'origine.

Questo significa che da 0 a +infinto avrai la funzione e da -infinito a zero avrai la stessa funzione simmetrica rispetto all'origine (ovvero e' come se prendi la funzione, disegni la sua simmetrica rispetto all'asse y e poi la "ribalti" sull'asse x)

Prendi ad esempio f(x)=x^3

Se la funzione non e' simmetrica ne' all'asse y ne' all'origine, non e' ne' pari ne' dispari

(ad esempio f(x)=2^x... non e' simmetrica a nulla, quindi ne' pari ne' dispari)