Come potrebbe essere dimostrata tale uguaglianza? [Logaritmi di tangente]

[mathos2000]

Come può essere dimostrata l'uguaglianza:

$log(tg40)+log(tg41)+log(tg42)+...+log(tg50)=0$ ?

Presso qualche altra fonte scrivono che siccome:

$ tg(40+alpha)=ctg(50-alpha) $

Allora --> $log(tg50)=log(ctg40)=log(tg40)^-1=-logtg40$

Per cui avvalendosi di tale ragionamento si può semplificare logtg40 con logtg50, logtg41 con logtg49, ecc.

L'unica cosa che non riesco a comprendere è $ tg(40+alpha)=ctg(50-alpha) $. Immagino che ci si arrivi con le formule goniometriche, ma provando a fare qualche passaggio non arrivo a nulla (uso per esempio la formula di addizione della tangente, esplicitando tutto in seno e coseno, per cercare "un'occasione" di prostaferesi, ma non arrivo proprio a nulla)...

[mgrau]

Se $tg(\alpha) = \frac{1}{tg(90-\alpha)}$
allora $tg(40)*tg(50) = 1$; $tg(41) * tg(49) = 1$ ecc

[axpgn]

Usando la circonferenza goniometrica e le definizioni di tangente e cotangente lo vedi immediatamente ... oppure per dimostrare che $tan(alpha)=cot(pi/2-alpha)$ puoi fare così ... $tan(alpha)=sin(alpha)/cos(alpha)=cos(pi/2-alpha)/sin(pi/2-alpha)=cot(pi/2-alpha)$