Come applicare una rotazione ad una conica

[HowardRoark]

Scusate il dubbio un po' stupido ma devo chiarire questa cosa.

Parto da $y=-1/3x^2$. Voglio arrivare a $(x-y)^2+3(x-y)=0$, che è l'equazione di una parabola ruotata in senso orario di 45 gradi, con delle trasformazioni geometriche.

Applico la dilatazione $D^-1: \{(x' = sqrt(2)x =>x = (x')/(sqrt(2))), (y'=sqrt(2)y => y=(y')/(sqrt(2))) :}$, e quindi ottengo $y'=-(x'^2)/6*sqrt(2)$. Questa è la dilatazione, ora devo ruotare tale parabola di 45 gradi in senso orario per ottenere la conica desiderata.
Prendo le equazioni della rotazione di 45 gradi in senso antiorario $ R_(+45°): \{(x''=1/(sqrt(2))x' - 1/(sqrt(2))y' => y' = x' - sqrt(2)x''), (y''=1/(sqrt(2))x' + 1/(sqrt(2))y' => x' = sqrt(2)y'' -y') :}$ e vi faccio 2 domande:

1) se vado a sostituire le $y$ e $x$ così trovate ottengo la parabola ruotata in senso antiorario, giusto? Mi sembra ovvio di sì, però sto facendo molta confusione e non voglio lasciare nulla al caso.
2) mi fareste vedere come applicare quella rotazione alla curva per trovare la sua trasformata?

[HowardRoark]

Ok credo di aver fatto confusione ma forse ora ho fatto chiarezza. Nel concreto, se devo applicare una trasformazione diretta ad una funzione esplicito le $x$ e le $y$ in funzione di $x'$ e $y'$ e poi vado a sostituire nella formula; se devo applicare una trasformazione inversa prendo direttamente $x'$ e $y'$ e le vado a sostituire nella formula. Quindi ad esempio se ho $y=-x^2/6 * sqrt(2)$ e voglio ruotarla in senso orario di $45°$, prendo le equazioni della rotazione in senso orario di $45°$, $ R_(+45°): \{(x'=1/(sqrt(2))x - 1/(sqrt(2))y => y = x - sqrt(2)x'), (y'=1/(sqrt(2))x + 1/(sqrt(2))y => x = sqrt(2)y' -y) :}$ e vado a sostituire $x$ con $x'$ e $y$ con $y'$, ottenendo $\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y=-\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y\right)^{2}}{6}\cdot\sqrt{2}$.

[Noodles1]

Ammesso e non concesso che tu stia considerando una rotazione attiva, nella rotazione di un punto:

Coordinate del punto prima della rotazione

$[[x],[y]]$

Coordinate del punto dopo la rotazione

$[[barx],[bary]]$

Rotazione di 45° in senso antiorario

$[[barx],[bary]]=[[sqrt2/2,-sqrt2/2],[sqrt2/2,sqrt2/2]][[x],[y]]$

Tuttavia, nella rotazione di una curva:

$f(x,y)=0$

per determinare la relazione soddisfatta dalle coordinate dei punti dopo la rotazione:

$g(barx,bary)=f(x(barx,bary),y(barx,bary))=0$

devi necessariamente utilizzare:

$[[x],[y]]=[[sqrt2/2,sqrt2/2],[-sqrt2/2,sqrt2/2]][[barx],[bary]]$

Inutile dire che, se la curva va in se stessa:

$f=g$

cioè, le dipendenze funzionali nelle rispettive variabili sono identiche.

[HowardRoark]

"Noodles":

$g(barx,bary)=f(x(barx,bary),y(barx,bary))=0$

Non capisco questa notazione, sarebbe l'inversa della rotazione di 45 gradi in senso antiorario (quindi la rotazione di 45 in senso orario)?

"Noodles":

$[[x],[y]]=[[sqrt2/2,sqrt2/2],[-sqrt2/2,sqrt2/2]][[barx],[bary]]$

E queste sono le equazioni della rotazione di 45 gradi in senso orario, quindi in questo caso per trovare l'inversa non posso partire dalle equazioni della rotazione in senso antiorario ma applico direttamente queste.

"Noodles":
Inutile dire che, se la curva va in se stessa:

$f=g$

cioè, le dipendenze funzionali nelle rispettive variabili sono identiche.

Non ho capito in che senso "la curva va in se stessa". Per definizione di inversa, se io applico prima la trasformazione diretta e poi l'inversa ritorno alla funzione di partenza, forse ti riferivi a quello.

[Noodles1]

Preferisco fare un esempio concreto:

Rotazione attiva di centro $O$ e angolo $\theta$ in senso antiorario

$[[barx],[bary]]=[[cos\theta,-sin\theta],[sin\theta,cos\theta]][[x],[y]]$

Equazione della circonferenza di centro $O$ e raggio $R$

$x^2+y^2=R^2$

Poichè, dopo aver ruotato i punti appartenenti alla circonferenza, la medesima va in se stessa, l'equazione soddisfatta dalle coordinate dei punti ruotati deve necessariamente essere:

$barx^2+bary^2=R^2$

Infatti:

$[[x],[y]]=[[cos\theta,sin\theta],[-sin\theta,cos\theta]][[barx],[bary]] ^^ x^2+y^2=R^2 rarr$

$rarr (barxcos\theta+barysin\theta)^2+(-barxsin\theta+barycos\theta)^2=R^2 rarr$

$rarr barx^2+bary^2=R^2$

In definitiva:

1. Se devi ruotare un punto utilizzi:

$[[barx],[bary]]=[[cos\theta,-sin\theta],[sin\theta,cos\theta]][[x],[y]]$

2. Se devi ruotare una curva utilizzi:

$[[x],[y]]=[[cos\theta,sin\theta],[-sin\theta,cos\theta]][[barx],[bary]]$

e, se la curva va in se stessa, l'equazione deve necessariamente avere "lo stesso aspetto".