Combinazione lineare equazioni
Salve, mi sono ritrovato sul mio libro di matematica, nella dimostrazione del fascio di parabole, la combinazione lineare di equazioni...
ma non so né cosa sia, né il perché.
Qualcuno potrebbe spiegarmela? magari facendo una semplice dimostrazione?
vorrei sottolineare il fatto che sono in 3a superiore quindi le mie conoscenze si fermano alle disequazioni e alla parabola nel piano cartesiano...
Grazie mille.
ma non so né cosa sia, né il perché.
Qualcuno potrebbe spiegarmela? magari facendo una semplice dimostrazione?
vorrei sottolineare il fatto che sono in 3a superiore quindi le mie conoscenze si fermano alle disequazioni e alla parabola nel piano cartesiano...
Grazie mille.
Risposte
per combinazione lineare di due equazioni s'intende l'equazione che si ottiene sommando ad una delle due l'altra moltiplicata per un parametro
in questo modo , se combini linearmente le equazioni di due rette, ottieni un fascio di rette, se combini due circonferenze un fascio di circonferenze, ...
es : se hai le rette 2x+y-1=0 , x+3y=0, la loro combinazione lineare è:
2x+y-1+k(x+3y)=0
hai così ottenuto un fascio di rette
in questo modo , se combini linearmente le equazioni di due rette, ottieni un fascio di rette, se combini due circonferenze un fascio di circonferenze, ...
es : se hai le rette 2x+y-1=0 , x+3y=0, la loro combinazione lineare è:
2x+y-1+k(x+3y)=0
hai così ottenuto un fascio di rette
Potresti spiegarmi il perché succede questo, cioé perché sommando due equazioni ottengo un fascio?
Grazie.
Grazie.
perchè ad esempio, nel caso delle rette, un fascio è costituito da tutte le rette aventi uno stesso punto in comune
se ne prendo due qualunque, a meno che non abbiano lo stesso coefficiente angolare, queste sicuramente avranno un punto in comune
se le sommo e metto un parametro variabile, ottengo tutte le rette che hanno quello stesso punto in comune (centro del fascio)
lo stesso vale per le coniche
infatti, nel caso delle parabole, se ne prendono due (generatrici del fascio) e si combinano linearmente
qui però la situazione è un po' più complicata, poichè le parabole del fascio possono avere due punti in comune, uno o nessuno (per capirlo si deve studiare il discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene mettendo a sistema le equazioni delle due parabole generatrici)
se ne prendo due qualunque, a meno che non abbiano lo stesso coefficiente angolare, queste sicuramente avranno un punto in comune
se le sommo e metto un parametro variabile, ottengo tutte le rette che hanno quello stesso punto in comune (centro del fascio)
lo stesso vale per le coniche
infatti, nel caso delle parabole, se ne prendono due (generatrici del fascio) e si combinano linearmente
qui però la situazione è un po' più complicata, poichè le parabole del fascio possono avere due punti in comune, uno o nessuno (per capirlo si deve studiare il discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene mettendo a sistema le equazioni delle due parabole generatrici)
"Nicole93":
es : se hai le rette 2x+y-1=0 , x+3y=0, la loro combinazione lineare è:
2x+y-1+k(x+3y)=0
hai così ottenuto un fascio di rette
Voglio fare il pignolo:
il fascio è dato da
$k_1 (2x+y-1) + k_2 (x+3y) = 0$
come l'hai scritto tu "perdi" la retta $x+3y=0$ (proprio quella che viene moltiplicata per $k$).
E' possibile utilizzare la tua formula ma a patto di tener conto che
siamo sempre con una retta in meno.
Quello che dice franced è vero, ma generalmente si preferisce, negli esercizi, utilizzare un solo parametro, e specificare eventualmente che la seconda generatrice si ottiene per $k->oo$
"Nicole93":
Quello che dice franced è vero, ma generalmente si preferisce, negli esercizi, utilizzare un solo parametro, e specificare eventualmente che la seconda generatrice si ottiene per $k->oo$
Anche io uso un solo parametro negli esercizi, ma c'è da fare attenzione a non perdere una generatrice.
Ti faccio un semplice esempio con una circonferenza ed una retta che hanno un punto in comune.
Quindi abbiamo il punto A(-1;2)
L'equazione della circonferenza che passa per A x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0
Ed ora abbiamo l'equazione della retta che passa per A x + 2y - 3 = 0
A cosa serve il punto a, se sostituiamo -1 nelle x della circonferenza e nella retta e 2 nelle y della circonferenza e nella retta otteniamo due equazioni verificate quindi che ( 0 = 0 ) per entrambi le equazioni. Ora proviamo a legarle con una semplice combinazione ovvero:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 + k ( x + 2y - 3 ) = 0
Osserviamo che sostituendo quel medesimo punto A nell'equazione qui sopra otteniamo 0 + k ( 0 ) = 0
il che e' una equazione verificata. Quindi cio' significa pure che al variare di k si ottiene sempre una soluzione per quel punto. Ora se invece di sostituire, moltiplichiamo per un valore k causale, per la semplicita', k = 2, otteniamo:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 + 2x + 4y - 6 = 0
Se sommiamo i termini simili otteniamo una circonferenza che richiede dei punti con coordinate piu' grandi affinche' si ottenga un'equazione verificata, ma sapendo che al variare di K, otteniamo si, sempre una circonferenza piu' grande, ma se comunque sostituiamo le coordinate di A si ottiene sempre la medesima equazione verificata, e cio' graficamente mostrerebbe una circonferenza che "scivola" sempre su quel punto. Lo stesso principio si applica per i fasci di rette e per i fasci di parabole.
Spero sia chiaro.
Quindi abbiamo il punto A(-1;2)
L'equazione della circonferenza che passa per A x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0
Ed ora abbiamo l'equazione della retta che passa per A x + 2y - 3 = 0
A cosa serve il punto a, se sostituiamo -1 nelle x della circonferenza e nella retta e 2 nelle y della circonferenza e nella retta otteniamo due equazioni verificate quindi che ( 0 = 0 ) per entrambi le equazioni. Ora proviamo a legarle con una semplice combinazione ovvero:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 + k ( x + 2y - 3 ) = 0
Osserviamo che sostituendo quel medesimo punto A nell'equazione qui sopra otteniamo 0 + k ( 0 ) = 0
il che e' una equazione verificata. Quindi cio' significa pure che al variare di k si ottiene sempre una soluzione per quel punto. Ora se invece di sostituire, moltiplichiamo per un valore k causale, per la semplicita', k = 2, otteniamo:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 + 2x + 4y - 6 = 0
Se sommiamo i termini simili otteniamo una circonferenza che richiede dei punti con coordinate piu' grandi affinche' si ottenga un'equazione verificata, ma sapendo che al variare di K, otteniamo si, sempre una circonferenza piu' grande, ma se comunque sostituiamo le coordinate di A si ottiene sempre la medesima equazione verificata, e cio' graficamente mostrerebbe una circonferenza che "scivola" sempre su quel punto. Lo stesso principio si applica per i fasci di rette e per i fasci di parabole.
Spero sia chiaro.
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