Coerenza del segno equazioni
Non capisco l'utilità della coerenza del segno delle equazioni irrazionali.
Mi spiego, se io ho rad(x+1)=5-x
E risolvo con campo di esistenza x>=-1
Se pongo 5-×>=0 ha senso visto che una radice quadrata può essere sia positiva che negativa? È una convenzione?
Le soluzioni sono ×=3 e ×=8
Se sostituisco viene rad4=2 ed è ok
Ma se sostituisco x=8 mi viene rad9=-3 ed è un'uguaglianza corretta.
Però il libro la soluzione 8 la esclude. Perché?
Mi spiego, se io ho rad(x+1)=5-x
E risolvo con campo di esistenza x>=-1
Se pongo 5-×>=0 ha senso visto che una radice quadrata può essere sia positiva che negativa? È una convenzione?
Le soluzioni sono ×=3 e ×=8
Se sostituisco viene rad4=2 ed è ok
Ma se sostituisco x=8 mi viene rad9=-3 ed è un'uguaglianza corretta.
Però il libro la soluzione 8 la esclude. Perché?
Risposte
Prima di tutto dovresti dirci come secondo te si potrebbe semplificare
$sqrt{x^2}$
$sqrt{x^2}$
Sposto in secondaria di SECONDO grado
"Irenefracrati":
... convenzione?
Poichè si considera solo la determinazione positiva della radice, certamente.
Disegna la parabola $y^2-1=x$ nel piano $Oxy$. Ora disegna la retta $ y=5-x$. La retta interseca la parabola in 2 punti, $(x,y)=(8,-3)$ e $(x,y)=(3,2)$. Vedi il disegno sotto (la retta blu interseca la parabola verde in due punti).
Ora possiamo riscrivere le parabola sopra come $y^2=x+1$ e prendere la radice quadrata. L'oggetto radice quadrata, con il simbolo $\sqrt{a}$, si definisce (e quindi è una scelta) prendere numeri positivi, ovvero $a \geq 0$ e restituisce valori positivi $\sqrt{a} \geq 0$, quindi se vogliamo disegnare la parabola sopra non possiamo scrivere $y= \sqrt{x+1}$ perché prenderemmo solo metà parabola (la metà rossa nel immagine sotto). Piuttosto per ogni $x$ se calcoliamo $\sqrt{x+1}$ dobbiamo disegnare sia il punto $(x, \sqrt{x+1})$ che $(x, -\sqrt{x+1})$. Quindi possiamo dire che $y= \pm \sqrt{x+1}$, in un certo senso le sue due metà. Guarda l'immagine sotto per capire meglio: $y= \sqrt{x+1}$ è rappresentata in rosso e interseca la retta blu soltanto in $(x,y)=(3,2)$, mentre la parte specchiata $y=- \sqrt{x+1}$ è rappresentata in verde e interseca la retta blu in $(x,y)=(8,-3)$. Quindi quando cerchi la risposta $\sqrt{x+1}=5-x$, prendi l'intersezione solo con la parte "rossa" della parabola e non tutta la parabola, questo vale anche in generale. Certo tutto questo è una scelta, puoi decidere che $\sqrt{x+1}$ rappresenta la parte verde nel immagine sotto mentre $-\sqrt{x+1}$ rappresenta quella rossa e fare tutto al contrario se tanto vuoi, ma devi per prima cosa annunciarlo (sennò la gente parte dal presupposto che fai le cose in modo standard e non ci capisce nulla) in secondo luogo in entrambi i casi $\sqrt{x+1}=5-x$ avrebbe una sola soluzione, stai semplicemente decidendo quale.
Ora possiamo riscrivere le parabola sopra come $y^2=x+1$ e prendere la radice quadrata. L'oggetto radice quadrata, con il simbolo $\sqrt{a}$, si definisce (e quindi è una scelta) prendere numeri positivi, ovvero $a \geq 0$ e restituisce valori positivi $\sqrt{a} \geq 0$, quindi se vogliamo disegnare la parabola sopra non possiamo scrivere $y= \sqrt{x+1}$ perché prenderemmo solo metà parabola (la metà rossa nel immagine sotto). Piuttosto per ogni $x$ se calcoliamo $\sqrt{x+1}$ dobbiamo disegnare sia il punto $(x, \sqrt{x+1})$ che $(x, -\sqrt{x+1})$. Quindi possiamo dire che $y= \pm \sqrt{x+1}$, in un certo senso le sue due metà. Guarda l'immagine sotto per capire meglio: $y= \sqrt{x+1}$ è rappresentata in rosso e interseca la retta blu soltanto in $(x,y)=(3,2)$, mentre la parte specchiata $y=- \sqrt{x+1}$ è rappresentata in verde e interseca la retta blu in $(x,y)=(8,-3)$. Quindi quando cerchi la risposta $\sqrt{x+1}=5-x$, prendi l'intersezione solo con la parte "rossa" della parabola e non tutta la parabola, questo vale anche in generale. Certo tutto questo è una scelta, puoi decidere che $\sqrt{x+1}$ rappresenta la parte verde nel immagine sotto mentre $-\sqrt{x+1}$ rappresenta quella rossa e fare tutto al contrario se tanto vuoi, ma devi per prima cosa annunciarlo (sennò la gente parte dal presupposto che fai le cose in modo standard e non ci capisce nulla) in secondo luogo in entrambi i casi $\sqrt{x+1}=5-x$ avrebbe una sola soluzione, stai semplicemente decidendo quale.
Ecco. Ira ho capito. Grazie
Ed ecco un'altra risposta.
Come sai, $sqrt 9=3$. Perché non $+-3$? Il motivo è che quando si vede un simbolo viene spontaneo pensare ad un solo valore e per adeguarsi a questo la definizione è "Si dice radice quadrata di un numero il numero, positivo o nullo, che elevato al quadrato dà il radicando". Quindi non è vero che una radice quadrata può essere sia positiva che negativa: per definizione, è sempre positiva (o nulla).
Altro discorso è se vuoi risolvere l'equazione $x^2=9$: qui non ci sono definizioni da rispettare e la soluzione è $x=+-3$. A conferma di quanto ho scritto, noto che la soluzione di $x^2=5$ è $x=+-sqrt 5$; occorre il $+-$ perché altrimenti avrei solo la soluzione positiva.
Come sai, $sqrt 9=3$. Perché non $+-3$? Il motivo è che quando si vede un simbolo viene spontaneo pensare ad un solo valore e per adeguarsi a questo la definizione è "Si dice radice quadrata di un numero il numero, positivo o nullo, che elevato al quadrato dà il radicando". Quindi non è vero che una radice quadrata può essere sia positiva che negativa: per definizione, è sempre positiva (o nulla).
Altro discorso è se vuoi risolvere l'equazione $x^2=9$: qui non ci sono definizioni da rispettare e la soluzione è $x=+-3$. A conferma di quanto ho scritto, noto che la soluzione di $x^2=5$ è $x=+-sqrt 5$; occorre il $+-$ perché altrimenti avrei solo la soluzione positiva.
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