Coefficienti retta implicita passante per due punti
Salve, sto cercando le formule per determinare i coefficienti $a$ $b$ e $c$ per l'equazione $ax+by+c=0$ della retta in forma implicita passante per due punti. Ossia sto cercando le formule per trovare tali coefficienti dati due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2,y_2)$, in modo da trovare l'equazione implicita della retta.
Conosco bene come passare dalla forma esplicita a quella implicita, ma sto facendo un progetto e mi servono le formule dei coefficienti della forma implicita. So che ci sono le seguenti relazioni:
$(y_2-y_1)/(x_2-x_1) = m = -a/b$
$-x_1*m+y_1 = q = -c/b$
Me ne manca una terza per poter ricavare le formule per $a$ $b$ e $c$.
Qualcuno sa aiutarmi ?
Avevo letto una formula del genere, e per dei casi che ho provato funziona, ma non so se sia corretta.
$(y_1 – y_2)*x + (x_2 – x_1)*y + (x_1*y_2 – x_2*y_1) = 0$
EDIT: ok la formula è corretta e si ricava banalmente dalla formula generale di retta passante per due punti $y - y_1 = m*(x-x_1)$ quindi il problema è risolto
Conosco bene come passare dalla forma esplicita a quella implicita, ma sto facendo un progetto e mi servono le formule dei coefficienti della forma implicita. So che ci sono le seguenti relazioni:
$(y_2-y_1)/(x_2-x_1) = m = -a/b$
$-x_1*m+y_1 = q = -c/b$
Me ne manca una terza per poter ricavare le formule per $a$ $b$ e $c$.
Qualcuno sa aiutarmi ?
Avevo letto una formula del genere, e per dei casi che ho provato funziona, ma non so se sia corretta.
$(y_1 – y_2)*x + (x_2 – x_1)*y + (x_1*y_2 – x_2*y_1) = 0$
EDIT: ok la formula è corretta e si ricava banalmente dalla formula generale di retta passante per due punti $y - y_1 = m*(x-x_1)$ quindi il problema è risolto
Risposte
Non ho capito bene, ma quando hai $m$ e $q$ hai tutto quello che ti serve $-mx+y-q=0=ax+by+c$ ... discorso diverso se li vuoi inter ma non sempre è possibile ....
Però nel tuo caso si avrebbe che y ha sempre coefficiente $1$, che alla fine non è del tutto errato perché dipende da come "rigiri" la formula.
Se consideriamo
$y - y_1 = m*(x-x_1) = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)*(x-x_1)$
moltiplicando ambo i lati per il denominatore si ha
$(x_2-x_1)*(y - y_1) = (y_2-y_1)*(x-x_1)$
da cui svolgendo le moltiplicazioni (ma non per $x$ e $y$)
$(x_2-x_1)*y - x_2*y_1 + x_1*y_1 = (y_2-y_1)*x-y_2*x_1+y_1*x_1$
e semplificando si ha $(y_1 – y_2)*x + (x_2 – x_1)*y + (x_1*y_2 – x_2*y_1) = 0$.
Dunque
$a = y_1 – y_2$
$b = x_2 – x_1$
$c = x_1*y_2 – x_2*y_1$
Se consideriamo
$y - y_1 = m*(x-x_1) = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)*(x-x_1)$
moltiplicando ambo i lati per il denominatore si ha
$(x_2-x_1)*(y - y_1) = (y_2-y_1)*(x-x_1)$
da cui svolgendo le moltiplicazioni (ma non per $x$ e $y$)
$(x_2-x_1)*y - x_2*y_1 + x_1*y_1 = (y_2-y_1)*x-y_2*x_1+y_1*x_1$
e semplificando si ha $(y_1 – y_2)*x + (x_2 – x_1)*y + (x_1*y_2 – x_2*y_1) = 0$.
Dunque
$a = y_1 – y_2$
$b = x_2 – x_1$
$c = x_1*y_2 – x_2*y_1$
"Rabelais":
Però nel tuo caso si avrebbe che y ha sempre coefficiente $1$, che alla fine non è del tutto errato perché dipende da come "rigiri" la formula.
Non è errato per niente ...
... la retta è quella ...Non ho controllato i tuo conti ma presumo siano corretti, però quando hai trovato $a, b, c$ basta che tu divida tutto per $b$ e torni a quella forma
... e la retta è sempre e solo una (sempre quella)La differenza consiste nel fatto che col tuo "sistema" fai un conto in più ...
Non che cambi molto ...
Si come dicevo dipende tutto da come "rigiri" la formula
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