Codominio vs Immagine
A scuola non ho mai sentito parlare di "immagine", ma solo di dominio e codominio.
Quando mi sono andato a leggere la definizione di immagine, mi è sembrata equivalente al codominio, poi però ho ricordato che qui nel forum una volta lessi che c'è una precisa distinzione.
Cercando, ho trovato
http://www.vialattea.net/esperti/php/ri ... hp?num=418
Io sapevo che, data
$y=f(x)$
il dominio è l'insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente $x$, il codominio l'insieme di valori che può assumere $y$.
Leggendo, mi pare però di capire che quello che io credo essere il codominio, è in realtà l'immagine.
Quindi il codominio non è l'insieme dei valori che può assumere, ma un insieme d'appartenenza che io scelgo di questi valori.
Ad esempio, prendiamo
$f: RR->RR$
$f(x)=sinx$
Quindi:
Dominio: $RR$
Codominio: $RR$
Immagine: $[-1;+1]$
E' giusto?
ps: qual'è l'utilità di distinguere immagine e dominio?
Grazie in anticipo, buona serata.
Ciao.
Quando mi sono andato a leggere la definizione di immagine, mi è sembrata equivalente al codominio, poi però ho ricordato che qui nel forum una volta lessi che c'è una precisa distinzione.
Cercando, ho trovato
http://www.vialattea.net/esperti/php/ri ... hp?num=418
Io sapevo che, data
$y=f(x)$
il dominio è l'insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente $x$, il codominio l'insieme di valori che può assumere $y$.
Leggendo, mi pare però di capire che quello che io credo essere il codominio, è in realtà l'immagine.
Quindi il codominio non è l'insieme dei valori che può assumere, ma un insieme d'appartenenza che io scelgo di questi valori.
Ad esempio, prendiamo
$f: RR->RR$
$f(x)=sinx$
Quindi:
Dominio: $RR$
Codominio: $RR$
Immagine: $[-1;+1]$
E' giusto?
ps: qual'è l'utilità di distinguere immagine e dominio?
Grazie in anticipo, buona serata.
Ciao.
Risposte
Per quanto riguarda l'indicare il sottoinsieme dell'insieme d'arrivo della funzione contenete le immagini dell'insieme di partenza con il termine "codominio" questa è una semplice scelta di nomenclatura. A mio parere infelice, ma tant'è.
Per quanto riguarda la scelta dell'intervallo \(\left[-1;1\right]\) come insieme d'arrivo questa è una sensata scelta pragmatica. Il seno assume valori in quell'intervallo e solo in quell'intervallo: che utilità potrebbe avere scegliere come insieme d'arrivo tutto \(\mathbb{R}\)? Nessuna! Certamente si potrebbe fare, nulla cambierebbe se non il fatto che pur restringendo il dominio del seno all'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) la funzione non risulterebbe poi invertibile e questo sarebbe un problema. Dopo di che, fermo restando queste considerazioni, se scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "codominio" e l'insieme d'arrivo continuiamo a chiamarlo "insieme d'arrivo", allora diremo che il codominio coincide con l'insieme d'arrivo. Se invece scegliamo di chiamare l'insieme d'arrivo con il termine "codominio" e scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "insieme immagine" (o "immagine della funzione"), diremo allora che l'immagine della funzione coincide col codominio. Ma in qualunque modo lo diciamo, l'importante è che, per il seno, si possa dirlo, altrimenti ci si complica la vita per invertirlo.
Per quanto riguarda la scelta dell'intervallo \(\left[-1;1\right]\) come insieme d'arrivo questa è una sensata scelta pragmatica. Il seno assume valori in quell'intervallo e solo in quell'intervallo: che utilità potrebbe avere scegliere come insieme d'arrivo tutto \(\mathbb{R}\)? Nessuna! Certamente si potrebbe fare, nulla cambierebbe se non il fatto che pur restringendo il dominio del seno all'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) la funzione non risulterebbe poi invertibile e questo sarebbe un problema. Dopo di che, fermo restando queste considerazioni, se scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "codominio" e l'insieme d'arrivo continuiamo a chiamarlo "insieme d'arrivo", allora diremo che il codominio coincide con l'insieme d'arrivo. Se invece scegliamo di chiamare l'insieme d'arrivo con il termine "codominio" e scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "insieme immagine" (o "immagine della funzione"), diremo allora che l'immagine della funzione coincide col codominio. Ma in qualunque modo lo diciamo, l'importante è che, per il seno, si possa dirlo, altrimenti ci si complica la vita per invertirlo.
Altra piccola osservazione,che mi pare valga la pena rimarcare:
se non introducessimo prima il concetto di codominio e poi quello d'immagine,
quest'ultimo insieme sarebbe un pò "equivocabile" perchè non sarebbe chiaro l'insieme ambiente
(o universo che dir si voglia)cui esso è riferito.
Saluti dal web.
se non introducessimo prima il concetto di codominio e poi quello d'immagine,
quest'ultimo insieme sarebbe un pò "equivocabile" perchè non sarebbe chiaro l'insieme ambiente
(o universo che dir si voglia)cui esso è riferito.
Saluti dal web.
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