Codominio di una funzione

Sternocleidomastoideo1
Salve, ho la seguente funzione : $y=(x-2)/(x+5)$ e devo calcolare il suo dominio ed il codominio.
Il dominio dovrebbe essere D: ${AA x in RR | x !=-5}$
Per il codominio ho un po' di problemi ... da quanto ho capito devo risolvere l'equazione in y isolando la x..
Dunque $y=(x-2)/(x+5)$ faccio il mcm ed è qui che sorgono i problemi in quanto avrei : $xy+5y=x+5$ ... non so come continuare, non ricordo le equazioni letterarie... potreste farmi un esempio dimodoché io possa capire? (Non risolvendo la mia, sia chiaro). Saluti e grazie!

Risposte
@melia
Devi ricavare la x, quindi i termini in x a primo membro e quelli senza a secondo
raccogli la x a primo membro
dividi tutto per il coefficiente della x

Sternocleidomastoideo1
Viene 5? (non c'è scritto il risultato)

@melia
come fa a venire 5 se deve essere una funzione nella variabile y?

Sternocleidomastoideo1
$y=(x-2)/(x+5) ; x-xy=5y+2$ raccolgo ...
$x(1-y)=5y+2$ da cui $x=(5y+2)/(1-y)$ e adesso che faccio? Finisce qui?

@melia
Quasi, devi porre $y!=1$ altrimenti ti si annulla in nuovo denominatore, e siccome la y è nel codominio, il codominio è $RR-{1}$

Sternocleidomastoideo1
Grazie mille Amelia :)

Sternocleidomastoideo1
Data la funzione $y= x/((sqrt(x^2-6x+8)))$ determinare dominio e codominio. Il dominio è $ (-∞;2] uu [2;4] uu [4;+∞)$ . I problemi sorgono quando cerco di calcolare il codominio. faccio il mcm multiplo ed elevo al quadrato ottenendo : $y^2x^2-6xy^2-x+8y^2=0$ non so come raccogliere, ho provato in diversi modi... potreste aiutarmi?

@melia
Ti comunico che hai sbagliato il dominio e anche la trasformazione successiva (ti sei dimenticato un quadrato).
Quando esiste una radice quadrata?

Sternocleidomastoideo1
dominio : $(−∞;2) uu (4;+∞)$

@melia
Esatto.
Per elevare tutto alla seconda devi imporre la concordanza dei segni che nel caso particolare è $x*y>0$, elevando poi tutto alla seconda si ottiene
$(y^2-1)x^2-6xy^2+8y^2=0$ che si risolve come un'equazione di secondo grado in x
Tuttavia vedo difficile trovare il codominio perché si ottengono disequazioni in due variabili.

Sternocleidomastoideo1
Il mio professore alla lavagna :
$x^2(y^2-1)-6xy^2+8y^2 = 0$ ; $Delta >= 0$ ; $36y^4-4(y^2-1)(8y^2) >= 0$ ; $36y^4-32^4+32y^2 >= 0$ ; $4y^4+32y^2 >= 0$ la cui soluzione è $AA y in RR $.

@melia
Peccato che il codominio sia $y>= -1$

aligatore1
@melia, il risultato della disequazione sarà SEMPRE E COMUNQUE UNA QUANTITà positiva poiché quando un numero è elevato al quadrato avente un qualsiasi coefficiente numerico maggiore o uguale a 0 (quindi non strettamente maggiore) risulterà sempre $0<=x

@melia
Il problema è prima: non puoi elevare al quadrato impunemente, se non fai le condizioni di esistenza correttamente aggiungi pezzi al dominio e al codominio.
Lo studio completo della funzione evidenzia che il codominio è $y>= -1$, prova a risolvere l'equazione $x/((sqrt(x^2-6x+8)))=-2$, non so che altro aggiungere.

Sternocleidomastoideo1
Amelia per favore, potresti mostrarmi il procedimento grazie al quale sei arrivata alla conclusione codominio : $ y≥−1$ ?

@melia
Ho fatto lo studio della funzione.

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