Codominio di una funzione
Buonasera!
Ho la funzione $y=(x^4+2x^2+3)/(x^2+1)^2$. Devo dimostrare che è limitata e devo verificare che il suo codominio è $C=]1;3]$. Avrei dimostrato che è limitata scrivendola nella forma $y=1+2/(x^2+1)^2$ e deducendo che deve essere $1
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta!
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Admin: Esercizi svolti sullo studio di funzione
Ho la funzione $y=(x^4+2x^2+3)/(x^2+1)^2$. Devo dimostrare che è limitata e devo verificare che il suo codominio è $C=]1;3]$. Avrei dimostrato che è limitata scrivendola nella forma $y=1+2/(x^2+1)^2$ e deducendo che deve essere $1
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta!
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Admin: Esercizi svolti sullo studio di funzione
Risposte
Beh, il tuo primo procedimento è ottimo, ti puoi fermare li'. I ragionamenti che ti portano a dedurre che l'insieme dei valori assunti è proprio $]1;3]$ risultano dall'osservazione: una volta mostrato che $1
Non credo che si possa esplicitare in tempi e termini ragionevoli la x in funzione di y.
Tuttavia dalla relazione che hai ricavato $x^4+2x^2=(3-y)/(y-1)$ ricavi in particolare $(3-y)/(y-1) ge 0$ ovvero $1 < y le 3$ (nota: bisogna verificare che puoi effettivamente dividere per $y-1$), ma questa si presenta come condizione necessaria. Per terminare devi mostrare che è anche sufficiente, ovvero che ogni volta che hai $c>0$ l'equazione $x^4+2x^2=c$ ha almeno una soluzione (NB: questo è sufficiente per mostrare la sufficienza, ma in alternativa puoi restringere i c ai valori non negativi assunti dall'espressione $(3-y)/(y-1)$, ma questo implica dover calcolare tali valori, e questo è un problema con la stessa consegna di quello di partenza..).
Un'interessante nota: di solito l'insieme dei valori assunti da una funzione si chiama "immagine" e non "codominio". Il codominio è un insieme fornito con la definizione della funzione. Ma so che alle superiori i due concetti si interscambiano e finiscono col coincidere (non mi spieghero' mai perché..).
Non credo che si possa esplicitare in tempi e termini ragionevoli la x in funzione di y.
Tuttavia dalla relazione che hai ricavato $x^4+2x^2=(3-y)/(y-1)$ ricavi in particolare $(3-y)/(y-1) ge 0$ ovvero $1 < y le 3$ (nota: bisogna verificare che puoi effettivamente dividere per $y-1$), ma questa si presenta come condizione necessaria. Per terminare devi mostrare che è anche sufficiente, ovvero che ogni volta che hai $c>0$ l'equazione $x^4+2x^2=c$ ha almeno una soluzione (NB: questo è sufficiente per mostrare la sufficienza, ma in alternativa puoi restringere i c ai valori non negativi assunti dall'espressione $(3-y)/(y-1)$, ma questo implica dover calcolare tali valori, e questo è un problema con la stessa consegna di quello di partenza..).
Un'interessante nota: di solito l'insieme dei valori assunti da una funzione si chiama "immagine" e non "codominio". Il codominio è un insieme fornito con la definizione della funzione. Ma so che alle superiori i due concetti si interscambiano e finiscono col coincidere (non mi spieghero' mai perché..).
La funzione si riduce alla:
$y=1+2/((x^2+1)^2)$
e facendo i limiti per $x-> -infty, \ \ x-> 0 \ \ e \ \ x->+infty$
si ricava l'immagine, o come lo chiami, il codominio, cioè quell'insieme di valori che assume la funzione quando x varia da meno infinito a + infinito, dato che la funzione è ovunque continua (Forse è banale ricordarlo, ma una funzione è continua quando il valore della funzione in un determinato punto corrisponde al valore del limite destro e sinistro in quel punto). Il secondo termine (che non è mai zero per quanto grande sia il denominatore...) determina l'apertura "a sinistra" del codominio, mentre proprio a causa del valore limite del secondo termine, che è zero quando x è infinito, assume il valore certo 3 (in x = 0 il valore di y è 3). Per dimostrarlo, dunque, devi applicare le tue conoscenze sui limiti.
$y=1+2/((x^2+1)^2)$
e facendo i limiti per $x-> -infty, \ \ x-> 0 \ \ e \ \ x->+infty$
si ricava l'immagine, o come lo chiami, il codominio, cioè quell'insieme di valori che assume la funzione quando x varia da meno infinito a + infinito, dato che la funzione è ovunque continua (Forse è banale ricordarlo, ma una funzione è continua quando il valore della funzione in un determinato punto corrisponde al valore del limite destro e sinistro in quel punto). Il secondo termine (che non è mai zero per quanto grande sia il denominatore...) determina l'apertura "a sinistra" del codominio, mentre proprio a causa del valore limite del secondo termine, che è zero quando x è infinito, assume il valore certo 3 (in x = 0 il valore di y è 3). Per dimostrarlo, dunque, devi applicare le tue conoscenze sui limiti.
Potrebbe essere utile (oltre al calcolo dei limiti a infinito) anche studiare il segno della derivata prima...
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