Classi resto

[HowardRoark]

Devo verificare che questa relazione $r(x;y) : "x - y è divisibile per m"$ è una relazione di equivalenza in $ZZ$, con $m in ZZ$ e $m>=1$.

Devo quindi verificare che la relazione genera una partizione in $ZZ$.

Mi basta constatare che, per vari valori che attribuisco ad $m$ $(1,2,3...,n,...)$, riesco a determinare univocamente una classe di equivalenza tale che, divisa per $m$, ha lo stesso resto.

- Se $m=1$ la relazione definisce tutti gli interi;
- Se $m=2$ la relazione definisce la classe formata dai numeri pari (i quali hanno resto 0 se divisi per 2) e i numeri dispari (che hanno resto 1).
$...$

Ora, avrei una questione: come è definita la divisione con resto per i numeri interi negativi? Faccio un esempio. Sarebbe corretto, se $m=5$, inserire nella classe resto $mod 2$ il numero $-12$ e considerare $-2$ come resto? In effetti $-12$ lo posso scrivere così: $-12 = 5 * (-2) -2$, dove $5$ è il divisore, $-2$ è il quoziente e il $-2$ finale sarebbe il resto.

Il mio libro però, nell'esempio che ho proposto (con $m=5$), inserisce $-12$ nella classe resto $mod 3$.

Non riesco a capire come mai questa cosa però...

[gugo82]

La cosa funziona sempre secondo il seguente teorema (della divisione euclidea)

Sia $m in ZZ$ un numero $> 0$.
Per ogni $n in ZZ$ esistono e sono univocamente determinati due numeri $q, r in ZZ$ tali che:
\[
n = q m + r\qquad \text{e}\qquad 0\leq r < m\; .
\]
I numeri $q$ ed $r$ sono detti quoziente e resto della divisione di $n$ per $m$.

Quindi il resto della divisione $r$ è sempre non negativo e minore di $m$.
Dunque $-12$ diviso per $5$ dà come quoziente $q=-3$ e come resto $r=3$.

[HowardRoark]

Quindi, finché ragiono con gli interi, il fatto che il quoziente sia $-3$ dipende dalla non negatività del resto?

[marco2132k]

Dire che per due interi \( a \) e \( b \), il numero \( b-a \) è divisibile per un intero positivo fissato \( n \), significa affermare che \( (b-a)/n=k \), con \( k \) intero. Così è come è definita le relazione \( a\equiv b\pmod n \). (Per completezza: non c'è in di solito bisogno, per verificare che una relazione \( \mathscr{R} \) è una relazione di equivalenza, di controllare se gli insiemi del tipo \( [a]=\left\{b:b\mathrel{\mathscr{R}}a\right\} \) formino o meno una partizione. È in genere più comodo verificare riflessività, transitività, ecc. Questo è uno di quei casi tipo).

Nota allora che, detta \( [3]_5 \) la tua classe di resto (credo ci sia un typo nella tua ultima richiesta nell'OP), ossia l'insieme degli interi della forma \( 3+k5 \), con \( k\in\mathbb{Z} \), hai che \( -12 \) vi appartiene per \( k=-3 \).

Ah potresti vedere velocemente pure https://it.wikipedia.org/wiki/Divisore.

[HowardRoark]

Ok, tutto chiaro.
Grazie a entrambi!