Classi contigue: inghippo con la somma

[silente1]

Qualche premessa in blu (giusto per chiarire se colà si celi il mio errore):

Due classi si dicono contigue se sono:
i) Separate
ii) Indefinitamente ravvicinate

Classi contigue, in qualsiasi modo siano definite, individuano un numero reale.

Siano dati due numeri reali $\alpha$ e $\beta$ definiti dalle classi contigue $(A_1;A_2)$ e $(B_1;B_2)$. Le classi $(A_1+B_1;A_2+B_2)$ che si ottengono addizionando ciascun numero di $A_1$ col corrispondente di $B_1$ e ciascun numero di $A_2$ col corrispondente di $B_2$ sono contigue (quindi definiscono un numero reale).

Quest’ultima asserzione deve essere dimostrata. In questa dimostrazione risiede la mia difficoltà che cerco spero di riuscire a spiegare:

proviamo a sommare i numeri $sqrt(2)$ e $sqrt(3)$

definiti come:
$sqrt(2)=(A_1;A_2)
$sqrt(3)=(B_1;B_2)

Che possiamo definire come (mi pare che le seguenti classi rispettino la definizione di classi contigue)

$A_1= 1;\ 1.4;\ 1;\ 1.41;\ 1;\ 1.4141 ldots$
$A_2=2;\ 1.5;\ 2;\ 1.42;\ 2;\ 1.415 ldots $

$B_1=1;\ 1;\ 1.7;\ 1;\ 1.73;\ 1;\ 1.732 ldots $
$B_2=2;\ 2;\ 1.8;\ 2;\ 1.74;\ 2;\ 1.733 ldots $

Tuttavia in questo caso non mi pare che $(A_1+B_1;A_2+B_2)$ siano contigue infatti:
per la somma dei numeri di posto dispari (ad esempio $a_3+b_3$) $(A_1+B_1)$ è sempre $<1+sqrt(3)$
per la somma dei numeri di posto pari $(A_2+B_2)$ è sempre $>sqrt(2) +2$

Ciao e grazie.

[Fioravante Patrone1]

La soluzione al tuo "problema" mi pare si possa avere seguendo due strade diverse.

1. quando si parla di classi (contigue o no che siano), usualmente ci si riferisce ad insiemi (metto in verde, anche se non si nota molto, per rispondere al tuo blu ). E, quindi, non ha senso fare la somma "ordinatamente" (spero si capisca cosa voglio dire). Per parlare di classi contigue, si chiede solo che, fissato epsilon, si riesca a trovare un elemento della prima ed uno della seconda la cui differenza sia minore di epsilon.

2. se tu le vedi come successioni, sei in realtà fuori dalla terminologia usuale delle classi contigue. Si può fare, ma allora la richiesta naturale è di lavorare con successioni di Cauchy (e quindi convergenti in $\RR$), per cui non ci puoi infilare quei "2" o "1" in mezzo.

Se non sono stato chiaro o convincente, fai un fischio!

[silente1]

"Fioravante Patrone":
1. quando si parla di classi (contigue o no che siano), usualmente ci si riferisce ad insiemi (metto in verde, anche se non si nota molto, per rispondere al tuo blu ). E, quindi, non ha senso fare la somma "ordinatamente" (spero si capisca cosa voglio dire). Per parlare di classi contigue, si chiede solo che, fissato epsilon, si riesca a trovare un elemento della prima ed uno della seconda la cui differenza sia minore di epsilon.

Grazie Professorone.
Chiaro, convincente e cattivissimo.
Se però posso approfittare…

… credo di essere stato indotto in errore da un fattore in particolare:

Tra le premesse si richiedeva che la somma avvenga tra

Un numero di $A_1$ e il corrispondente di $B_1$
Un numero di $A_2$ e il corrispondente di $B_2$


Questa corripondenza presuppone l’esistenza di una serie? A me parrebbe evidente sottintenderlo giacché in questo caso non vedo altro modo per stabilire quale sia il corrispondente di un numero se non considerandoli in serie.
La richiesta di questa corrispondenza è dunque inutile (per me è stata dannosa) e può dunque omettersi oppure è fallace la mia interpretazione di “corrispondente”?

Grazie

EDIT: rinunciando a questa corrispondenza resta il problema di di trovare un modo per definire le classi contigue che definiscano la somma.
Ho pensato di formare la classe i cui elementi sono la somma dei termini delle coppie ordinate di $A_1XB_1$ e la classe i cui elementi sono la somma dei termini delle coppie ordinate di $A_2XB_2$. Può andare?
Oppure si potrebbero anche ordinare i termini di ciascuna classe con la relazione $<$ ottenendo un ordinamento totale. In questo caso ci si riconduce alla seconda via indicata da Fioravante Patrone?
Sempre + grazie

[Fioravante Patrone1]

"silente":
… credo di essere stato indotto in errore da un fattore in particolare:

Tra le premesse si richiedeva che la somma avvenga tra

Un numero di $A_1$ e il corrispondente di $B_1$
Un numero di $A_2$ e il corrispondente di $B_2$

Questa, scritta così, è una sciocchezza colossale. Sempre che le classi contigue siano intese, come si conviene, come insiemi.

"silente":
Questa corripondenza presuppone l’esistenza di una serie? A me parrebbe evidente sottintenderlo giacché in questo caso non vedo altro modo per stabilire quale sia il corrispondente di un numero se non considerandoli in serie.
La richiesta di questa corrispondenza è dunque inutile (per me è stata dannosa) e può dunque omettersi oppure è fallace la mia interpretazione di “corrispondente”?

Sì, presuppone di avere, oltre che un insieme, qualcos'altro, che possa dare un senso alla idea di "corrispondente".

"silente":
EDIT: rinunciando a questa corrispondenza resta il problema di di trovare un modo per definire le classi contigue che definiscano la somma.

Certo, c'è questo "problema", nel senso che va definito cosa si vuol fare.
La strada più semplice (e consueta) è definire $A_1 + B_1 = { x \in \RR: \EE a_1 \in A_1 \ ed \ \EE b_1 \in B_1 \ t.c. \ x=a_1+b_1 }$