Circonferenza tangente a una retta e ad un altra circonferenza
Buongiorno a tutti, spero di aver postato nella sezione corretta.
Il mio problema è questo, ho una circonferenza di raggio $R$ noto e di centro $x_c, y_c$ noto.
C'è una retta verticale passante per questa circonferenza, che quindi la interseca in due punti. La retta è alla sinistra rispetto al centro della circonferenza, e la posizione è nota.
C'è una seconda circonferenza all'interno di questa, di raggio $r$, e tangente nella parte superiore alla retta e alla circonferenza maggiore. Quello che voglio trovare è il raggio $r$.
Ho provato a risolvere questo problema dapprima usando la trigonometria, ma ho trovato solo soluzioni da iterare.
Quindi ho provato a scrivere l'equazione della circonferenza maggiore:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$
L'equazione della circonferenza minore, considerando che il centro $x_a$ è pari a $r$, perchè la retta verticale ha equazione $x=0$:
$(x-r)^2+(y-y_a)^2=r^2$
Infine, voglio che il centro di questa circonferenza stia lungo il raggio "R":
$(R-r)^2 = (y_a-y_c)^2+(x_c-r)^2$
A questo punto però non riesco ad andare avanti. Qual'è la soluzione?
Grazie
Il mio problema è questo, ho una circonferenza di raggio $R$ noto e di centro $x_c, y_c$ noto.
C'è una retta verticale passante per questa circonferenza, che quindi la interseca in due punti. La retta è alla sinistra rispetto al centro della circonferenza, e la posizione è nota.
C'è una seconda circonferenza all'interno di questa, di raggio $r$, e tangente nella parte superiore alla retta e alla circonferenza maggiore. Quello che voglio trovare è il raggio $r$.
Ho provato a risolvere questo problema dapprima usando la trigonometria, ma ho trovato solo soluzioni da iterare.
Quindi ho provato a scrivere l'equazione della circonferenza maggiore:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$
L'equazione della circonferenza minore, considerando che il centro $x_a$ è pari a $r$, perchè la retta verticale ha equazione $x=0$:
$(x-r)^2+(y-y_a)^2=r^2$
Infine, voglio che il centro di questa circonferenza stia lungo il raggio "R":
$(R-r)^2 = (y_a-y_c)^2+(x_c-r)^2$
A questo punto però non riesco ad andare avanti. Qual'è la soluzione?
Grazie
Risposte
Non capisco che cosa significa
visto che la retta è verticale.
tangente nella parte superiore alla retta
visto che la retta è verticale.
Hai ragione mi sono espresso male.
La retta interseca il cerchio in due punti, intendevo dire che il cerchio più piccolo è tangente alla retta e al cerchio più grande in corrispondenza del punto superiore
La retta interseca il cerchio in due punti, intendevo dire che il cerchio più piccolo è tangente alla retta e al cerchio più grande in corrispondenza del punto superiore
Ciao @pironman e ciao @melia !
Scusate se mi intrometto nel thread. Da quello che ho capito leggendo il messaggio, la prima circonferenza è una cosa del genere
e la seconda dovrebbe essere tangente sia alla retta che alla circonferenza nel punto C essendo interna alla circonferenza ? A me sembra impossibile questa cosa. Ho sbagliato ad interpretare ?
Saluti
Scusate se mi intrometto nel thread. Da quello che ho capito leggendo il messaggio, la prima circonferenza è una cosa del genere
e la seconda dovrebbe essere tangente sia alla retta che alla circonferenza nel punto C essendo interna alla circonferenza ? A me sembra impossibile questa cosa. Ho sbagliato ad interpretare ?
Saluti
No, non hai sbagliato ad interpretare, è solo che, come accade spesso, non viene riportato il testo completo ed esatto e quindi si brancola nel buio ... 
Sarà una cosa del genere?
Probabile ma finché non pubblica il testo preciso è inutile andare a tentoni ... IMHO
La prima osservazione è che il raggio non dipende dalla posizione della circonferenza maggiore. Traslare il problema non fa cambiare il risultato: quindi tanto vale considerare il centro nell'origine.
La seconda considerazione è che le due circonferenze condividono un solo punto solo quando hanno la medesima tangente. Quindi, preso un punto qualsiasi sulla circonferenza maggiore, che stia sull'arco $0<=theta<=arccos(k/R)$, il centro della circonferenza interna deve trovarsi lungo il raggio.
Facendo scorrere il detto punto lungo il raggio R e verso l'origine, il raggio della circonferenza interna aumenterà fino a che non sarà tangente alla retta $x=k$ con $-R
Chiamiamo $x_p$ l'ascissa del centro della circonferenza interna e $r$ il suo raggio.
I due vincoli ci dicono che $x_p-k=r$, ovvero $x_p=k+r$.
La distanza fra l'origine e il centro è pari a $R-r$, pertanto $x_p=(R-r)cos(theta)$.
Mettendo insieme il tutto ricaviamo $r=(Rcos(theta)-k)/(cos(theta)+1)$
La seconda considerazione è che le due circonferenze condividono un solo punto solo quando hanno la medesima tangente. Quindi, preso un punto qualsiasi sulla circonferenza maggiore, che stia sull'arco $0<=theta<=arccos(k/R)$, il centro della circonferenza interna deve trovarsi lungo il raggio.
Facendo scorrere il detto punto lungo il raggio R e verso l'origine, il raggio della circonferenza interna aumenterà fino a che non sarà tangente alla retta $x=k$ con $-R
Chiamiamo $x_p$ l'ascissa del centro della circonferenza interna e $r$ il suo raggio.
I due vincoli ci dicono che $x_p-k=r$, ovvero $x_p=k+r$.
La distanza fra l'origine e il centro è pari a $R-r$, pertanto $x_p=(R-r)cos(theta)$.
Mettendo insieme il tutto ricaviamo $r=(Rcos(theta)-k)/(cos(theta)+1)$
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