Circonferenza, punti e tangenti (cerchi osculanti)
Ciao a tutti, buona Festa della Repubblica 
mi appena iscritto, anche perché, navigando e nei libri che ho a disposizione, non trovo risposte a un quesito che al momento mi è fondamentale.
Il mio problema è relativamente semplice da intuire ma complicato da spiegare... ci provo: sto facendo un programma che dovrebbe calcolare le ordinate di alcuni punti che compongono una serie.
Cosa so:
- Se nella serie ci sono due punti P e Q successivi, questi due punti appartengono alla stessa circonferenza.
- Nel mio caso, io conosco x e y del punto P, e conosco soltanto la x del punto Q. Quello di cui ho bisogno è la y del punto Q.
- So anche il vettore normalizzato della tangente al punto P e al punto Q. In sostanza riesco a calcolare abbastanza facilmente l'equazione della retta tangente in P (conosco P, conosco il vettore normalizzato lungo il quale si sviluppa la tangente... quindi si tratta di una retta passante per due punti).... chiamiamola f(x).
- Ripeto che è nota anche la x di Q
Cosa non so:
- non conosco l'equazione della circonferenza, né il su raggio (ma so che la retta perpendicolare a f(x) passante per P è sovrapposta al raggio).
- non conosco l'equazione della tangente al punto Q, anche se conosco la sua pendenza (ho il vettore normalizzato)
Cosa cerco:
- cerco la y del punto Q
Siccome so che potrei non essere chiaro, provo a spiegare anche graficamente.
Ovviamente il punto R successivo a Q è calcolabile una volta noto Q
Non è da escludere che si debba procedere un sistema... ma non ho idea di che sistema usare
Mi spiace non avere esempi numerici... la mia necessità è relativa come fare... la procedura da seguire
grazie a chi ha letto fino a qua e a chi cercherà di aiutarmi
edit: potrei anche aver sbagliato sezione.... in quel caso se un moderatore vuol spostare non me la prenderò sicuramente
mi appena iscritto, anche perché, navigando e nei libri che ho a disposizione, non trovo risposte a un quesito che al momento mi è fondamentale.
Il mio problema è relativamente semplice da intuire ma complicato da spiegare... ci provo: sto facendo un programma che dovrebbe calcolare le ordinate di alcuni punti che compongono una serie.
Cosa so:
- Se nella serie ci sono due punti P e Q successivi, questi due punti appartengono alla stessa circonferenza.
- Nel mio caso, io conosco x e y del punto P, e conosco soltanto la x del punto Q. Quello di cui ho bisogno è la y del punto Q.
- So anche il vettore normalizzato della tangente al punto P e al punto Q. In sostanza riesco a calcolare abbastanza facilmente l'equazione della retta tangente in P (conosco P, conosco il vettore normalizzato lungo il quale si sviluppa la tangente... quindi si tratta di una retta passante per due punti).... chiamiamola f(x).
- Ripeto che è nota anche la x di Q
Cosa non so:
- non conosco l'equazione della circonferenza, né il su raggio (ma so che la retta perpendicolare a f(x) passante per P è sovrapposta al raggio).
- non conosco l'equazione della tangente al punto Q, anche se conosco la sua pendenza (ho il vettore normalizzato)
Cosa cerco:
- cerco la y del punto Q
Siccome so che potrei non essere chiaro, provo a spiegare anche graficamente.
Ovviamente il punto R successivo a Q è calcolabile una volta noto Q
Non è da escludere che si debba procedere un sistema... ma non ho idea di che sistema usare
Mi spiace non avere esempi numerici... la mia necessità è relativa come fare... la procedura da seguire
grazie a chi ha letto fino a qua e a chi cercherà di aiutarmi
edit: potrei anche aver sbagliato sezione.... in quel caso se un moderatore vuol spostare non me la prenderò sicuramente
Risposte
forse sono arrivato a una soluzione ... vi faccio sapere ( o soluzione o continuazione del problema)
grazie a chi ci ha pensato
grazie a chi ci ha pensato
Io avevo pensato:
1) retta per P ortogonale alla tangente
2) retta per Q ortogonale alla tangente (dipende dall'incognita $y_Q$)
3) intersezione delle due rette e trovo il centro C (le cui coordinate dipendono da $y_Q$)
4) impongo CP=CQ e trovo quindi $y_Q$
Dovrebbe venire un'equazione di secondo grado. Quindi avresti in generale due punti Q (due circonferenze).
1) retta per P ortogonale alla tangente
2) retta per Q ortogonale alla tangente (dipende dall'incognita $y_Q$)
3) intersezione delle due rette e trovo il centro C (le cui coordinate dipendono da $y_Q$)
4) impongo CP=CQ e trovo quindi $y_Q$
Dovrebbe venire un'equazione di secondo grado. Quindi avresti in generale due punti Q (due circonferenze).
Anch'io avrei un suggerimento, molto simile a quello di cenzo, sempre se ho capito bene e sono date le due coordinate di $P (x_P, y_P)$, l'ascissa di $Q (x_Q)$ e i coefficienti angolari delle tangenti in $P$ e $Q$, rispettivamente $p$ e $q$:
$CP$ = $CQ$
$C$ appartiene alla normale in $P$ alla circonferenza
$C$ appartiene alla normale in $Q$ alla circonferenza.
Si possono scrivere tre equazioni che hanno per incognite le coordinate del centro $C$ e l'ordinata di $Q$, la prima di 2° grado e le altre 2 di 1°.
Risultano (con Derive) queste due soluzioni per l'ordinata di $Q$:
$y_Q = (x_P(1 - pq) + y_p(p + q) + x_Q(pq - 1) +- sqrt(p^2 + 1)*sqrt(q^2 + 1)*|x_P - x_Q|)/(p + q)$.
Per caso c'è qualche condizione ulteriore su $y_Q$? magari maggiore o minore di $y_P$ o qualcosa del genere?
$CP$ = $CQ$
$C$ appartiene alla normale in $P$ alla circonferenza
$C$ appartiene alla normale in $Q$ alla circonferenza.
Si possono scrivere tre equazioni che hanno per incognite le coordinate del centro $C$ e l'ordinata di $Q$, la prima di 2° grado e le altre 2 di 1°.
Risultano (con Derive) queste due soluzioni per l'ordinata di $Q$:
$y_Q = (x_P(1 - pq) + y_p(p + q) + x_Q(pq - 1) +- sqrt(p^2 + 1)*sqrt(q^2 + 1)*|x_P - x_Q|)/(p + q)$.
Per caso c'è qualche condizione ulteriore su $y_Q$? magari maggiore o minore di $y_P$ o qualcosa del genere?
Ho fatto un sistema molto simile:
- perpendicolare alla tangente in P passante per C
- perpendicolare alla tangente in Q passante per C
- raggio imposto PC = QC
- equazione del raggio passante per Q
Sono indeciso sulla quarta equazione... in ogni caso mi faccio qualche esempio giocattolo per vedere se funziona.
Non ho nessun vincolo per $y_q$ , può essere minore, maggiore o uguale a $y_p$.
Addirittura $x_q$ potrebbe essere anche minore della $x$ del centro
- perpendicolare alla tangente in P passante per C
- perpendicolare alla tangente in Q passante per C
- raggio imposto PC = QC
- equazione del raggio passante per Q
Sono indeciso sulla quarta equazione... in ogni caso mi faccio qualche esempio giocattolo per vedere se funziona.
Non ho nessun vincolo per $y_q$ , può essere minore, maggiore o uguale a $y_p$.
Addirittura $x_q$ potrebbe essere anche minore della $x$ del centro
"chiaraotta":
Anch'io avrei un suggerimento, molto simile a quello di cenzo, sempre se ho capito bene e sono date le due coordinate di $P (x_P, y_P)$, l'ascissa di $Q (x_Q)$ e i coefficienti angolari delle tangenti in $P$ e $Q$, rispettivamente $p$ e $q$:
$CP$ = $CQ$
$C$ appartiene alla normale in $P$ alla circonferenza
$C$ appartiene alla normale in $Q$ alla circonferenza.
Si possono scrivere tre equazioni che hanno per incognite le coordinate del centro $C$ e l'ordinata di $Q$, la prima di 2° grado e le altre 2 di 1°.
Risultano (con Derive) queste due soluzioni per l'ordinata di $Q$:
$y_Q = (x_P(1 - pq) + y_p(p + q) + x_Q(pq - 1) +- sqrt(p^2 + 1)*sqrt(q^2 + 1)*|x_P - x_Q|)/(p + q)$.
Per caso c'è qualche condizione ulteriore su $y_Q$? magari maggiore o minore di $y_P$ o qualcosa del genere?
ho qualche problema di determinante minore di 1 nei miei esempi giocattolo...
ho guardato bene il tuo esempio, che è praticamente uguale al mio con un'equazione in meno (ma anche un'incognita)
in sostanza io stavo studiando:
$y_c = -1/m_1 x_c + q_1'
$y_c = -1/m_2 x_c + q_2'
$(x_0 - x_c)^2 - (y_0 - y_c)^2 = (x_b - x_c)^2 - (y_b - y_c)^2
$y_b = -1/m_2 x_b + q_2'
Dove:
$x_0 , y_0 $ è il punto P noto
$x_c , y_c $ è il centro della circonferenza ignota
$x_b , y_b $ è il punto Q, di cui $x_b $ è nota e $y_b $ è ignota
$m_1 $ è il coefficiente angolare della tangente alla circonferenza in P (quindi $-1/m_1 $ è coefficiente angolare della sua perpendicolare), noto
$m_2 $ è il coefficiente angolare della tangente alla circonferenza in P (quindi $-1/m_2 $ è coefficiente angolare della sua perpendicolare), noto
$q_1' $ è il punto di intersezione tra la tangente e l'asse delle ordinate, noto
$q_2' $ è il punto di intersezione tra la tangente e l'asse delle ordinate, ignoto
...
perché ho 4 equazioni e tu tre?
---
Potrei anche semplificare il sistema ponendo $x_0 = y_0 = q_1' = 0$ , ovvero P nell'origine.
Le "mie" equazioni sono queste:
$(x_C - x_P)^2 + (y_C - y_P)^2 = (x_C - x_Q)^2 + (y_C - y_Q)^2$, corrisponde a $CP = CQ$,
$y_C - y_P = -1/p * (x_C - x_P)$, corrisponde al fatto che $C$ appartiene alla normale in $P$ alla circonferenza,
$y_C - y_Q = -1/q * (x_C - x_Q)$, corrisponde al fatto che $C$ appartiene alla normale in $Q$ alla circonferenza.
In queste equazioni sono note $x_P$, $y_P$, $x_Q$, i coefficienti angolari $p$ e $q$ delle tangenti in $P$ e $Q$ rispettivamente. Le incognite quindi sono solo $x_C$, $y_C$ e $y_Q$, anche se in realtà interessa calcolare solo quest'ultima.
Il sistema si può anche tentare di risolvere con carta e penna. Io comunque l'ho passato a Derive, che fornisce le soluzioni per $y_Q$ che riportavo prima.
Le soluzioni sono due, cioè ci sono due cerchi e due punti $Q$ che soddisfano queste condizioni e mi sembra anche di capire da dove nasce questo fatto.
$(x_C - x_P)^2 + (y_C - y_P)^2 = (x_C - x_Q)^2 + (y_C - y_Q)^2$, corrisponde a $CP = CQ$,
$y_C - y_P = -1/p * (x_C - x_P)$, corrisponde al fatto che $C$ appartiene alla normale in $P$ alla circonferenza,
$y_C - y_Q = -1/q * (x_C - x_Q)$, corrisponde al fatto che $C$ appartiene alla normale in $Q$ alla circonferenza.
In queste equazioni sono note $x_P$, $y_P$, $x_Q$, i coefficienti angolari $p$ e $q$ delle tangenti in $P$ e $Q$ rispettivamente. Le incognite quindi sono solo $x_C$, $y_C$ e $y_Q$, anche se in realtà interessa calcolare solo quest'ultima.
Il sistema si può anche tentare di risolvere con carta e penna. Io comunque l'ho passato a Derive, che fornisce le soluzioni per $y_Q$ che riportavo prima.
Le soluzioni sono due, cioè ci sono due cerchi e due punti $Q$ che soddisfano queste condizioni e mi sembra anche di capire da dove nasce questo fatto.
"chiaraotta":
Le soluzioni sono due, cioè ci sono due cerchi e due punti $Q$ che soddisfano queste condizioni e mi sembra anche di capire da dove nasce questo fatto.
grazie ancora
ora ho capito perché ne hai una meno
teoricamente il cerchio dovrebbe essere unico... sta nella teoria degli osculating circles....
vi farò sapere cosa mi dicono i casi...
Guarda che, se non ci sono dei vincoli che non hai esplicitato, di cerchi ce n'è due. Tanto per capire più o meno dove sta il secondo, con riferimento alla tua figura, pensa di prolungare la tua retta $CP$ oltre a $P$, in basso a sinistra per una trentina di centimetri. Prolunga poi anche la tua verticale per $Q$ verso il basso, oltre a quella riga di base, spessa, sempre all'incirca di una trentina di cm, diciamo fino a un punto $Q'$. Conduci una parallela alla $QC$ del tuo disegno da $Q'$ fino a intersecare il prolungamento della $CP$, diciamo in $C'$. Se avevi trovato quel $Q'$ per cui $C'P = C'Q'$, hai individuato il secondo cerchio che passa per $P$ e per $Q'$, ha centro in $C'$ ed è tangente esternamente in $P$ a quello che hai disegnato tu. Il punto $Q'$ soddisfa tutte le condizioni del problema. Spero che la costruzione molto grossolana e qualitativa sia abbastanza comprensibile ..... è solo per cercare di capire all'incirca dove sta l'altra soluzione, oltre a quella che hai disegnato tu ...
Ho capito perfettamente cosa intendi...
teoricamente dovrei prendere solo la soluzione nella forma che ho indicato... quindi (sempre teoricamente) il mio $x_c$ dovrebbe stare oltre $x_p$ ... ma ci studio su
teoricamente dovrei prendere solo la soluzione nella forma che ho indicato... quindi (sempre teoricamente) il mio $x_c$ dovrebbe stare oltre $x_p$ ... ma ci studio su
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