Circonferenza... non ne esco più.

[robyem]

1.Determina i punti di intersezione della retta

[math]x+2y-4=0[/math]

con la circonferenza di centroC(2;1)e raggio radice di 5.

[math][(0;2),(4;0)][/math]

.
2.Determina l'equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione

[math]x^2+y^2-12x+2y+12=0[/math]

nel suo punto di ascissa 3 appartenente al primo quadrante
3.Determina l'equazione della circonferenza passante per l'origine e per i punti di intersezione della retta di equazione

[math]y=-2x+2[/math]

con asse delle ordinate e con la bisettrice del II e IV quadrante.
4.Determina le equazioni delle circonferenze passanti per i punti A(1;3) B(5;-3) e aventi raggio

[math]r= √26[/math]

.

Possono sembrare banali per voi ma per me no.Per favore qualcuno mi può aiutare.Sono disperato...

[nRT]

Ciao,
iniziamo subito :)

Problema 1


Retta:

[math]
x+2y-4= 0 \\
y = -\frac{1}{2}x+2 \\
[/math]

Circonferenza di centro e raggio noti:

[math]
(x-2)^2+(y-1)^2=5\\
[/math]

Punti di intersezione con la retta:

[math]
(x-2)^2+(-\frac{1}{2}x+1)^2=5 \\
x^2-4x+4+\frac{1}{4}x^2-x+1-5=0 \\
\frac{5}{4}x^2-5x=0\\
5x^2-20x=0\\
5x(x-4)=0\\
x=0 \lor x=4 \\
y=2 \lor y=-2+2=0 \\
A=(0;2) \\
B=(4;0)
[/math]

Aggiunto 1 ora 13 minuti più tardi:

Problema 2

Centro della circonferenza e raggio:

[math]
\alpha = - \frac{a}{2} \\
\beta = - \frac{b}{2} \\
C = (\frac{12}{2}; - \frac{2}{2} ) \\
C = (6; -1) \\
r = \sqrt{ \alpha^2 + \beta^2 - c} \\
r = \sqrt{36 + 1 - 12} = 5
[/math]

Troviamo il punto P utilizzando l'equazione della circonferenza passante per il punto di ascissa 3. Dell'ordinata scegliamo quella positiva (punto nel primo quadrante, come richiesto dall'esercizio).

[math]
x^2 + y^2 - 12x + 2y + 12 = 0 \\
9 + y^2 - 36 + 2y + 12 = 0 \\
y^2 + 2y - 15 = 0 \\
(y + 5)(y - 3) = 0 \\
y = 3 \\
P = (3; 3)
[/math]

La generica retta passa per il punto P. Ricaviamo q in funzione di m.

[math]
y = mx + q \\
3 = 3m + q \\
q = 3 - 3m \\
y = mx - 3m + 3 \\
mx - y - 3m + 3 = 0
[/math]

Distanza dal centro C alla retta uguale al raggio:

[math]
\frac{ |6m + 1 - 3m + 3| }{ \sqrt{m^2 + 1} } = 5
[/math]

Il coefficiente angolare è positivo, lo si può verificare dal disegno o dal fatto che l'ascissa di P è minore dell'ascissa di C e l'ordinata di P è maggiore dell'ordinata di C.
Troviamo coefficiente angolare ed equazione della retta tangente.

[math]
3m + 4 = 5 \sqrt{m^2 + 1} \\
9m^2 + 24m + 16 - 25m^2 - 25 = 0 \\
16m^2 - 24m - 9 = 0 \\
(4m - 3)^2 = 0 \\
m = \frac{3}{4} \\
y = \frac{3}{4}x + 3 - \frac{3 \cdot 3}{4} \\
y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \\
[/math]

Aggiunto 33 secondi più tardi:

Problema 3

Per determinare una e una sola circonferenza servono tre punti.

1. Origine:

[math]
O = (0; 0)
[/math]

2. Punto A appartenente alla retta data di ascissa 0:

[math]
y = -2x + 2 \\
y = 2 \\
A = (0; 2)
[/math]

3. Punto B, punto di intersezione tra la retta data e la bisettrice II-IV quadrante:

[math]
y = -2x + 2 \\
y = -x \\
-x = -2x + 2 \\
x = 2 \\
y = -2 \\
B = (2; -2)
[/math]

Circonferenza passante per O...

[math]
x^2 + y^2 + ax + by = 0
[/math]

...passante per A...

[math]
4 + 2b = 0 \\
b = -2 \\
x^2 + y^2 + ax - 2y = 0
[/math]

...passante per B:

[math]
4 + 4 + 2a + 4 = 0 \\
2a = -12 \\
a = -6 \\
x^2 + y^2 - 6x - 2y = 0
[/math]

Aggiunto 45 secondi più tardi:

Problema 4

Generica circonferenza passante per A...

[math]
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \\
1 + 9 + a + 3b + c = 0 \\
c = -a - 3b - 10 \\
x^2 + y^2 + ax + by - a - 3b - 10 = 0
[/math]

...e passante per B:

[math]
25 + 9 + 5a - 3b - a - 3b - 10 = 0 \\
4a - 6b + 24 = 0 \\
2a - 3b + 12 = 0 \\
b = \frac{2}{3}a + 4 \\
x^2 + y^2 + ax + \left( \frac{2}{3}a + 4 \right) y - a -2a - 12 - 10 = 0 \\
x^2 + y^2 + ax + \left( \frac{2}{3}a + 4 \right) y - 3a - 22 = 0
[/math]

Raggio:

[math]
r = \sqrt{ \alpha ^2 + \beta ^2 - c} \\
r = \sqrt{ \left( - \frac{a}{2} \right) ^2 + \left( - \frac{b}{2} \right) ^2 - c} \\
\sqrt{ \left( - \frac{a^2}{4} \right) + \left( \frac{1}{3}a + 2 \right) ^2 + 3a + 22} = \sqrt{26} \\
\frac{a^2}{4} + \frac{1}{9}a^2 + \frac{4}{3}a + 4 + 3a + 22 = 26 \\
\frac{13}{36}a^2 + \frac{13}{3}a + 26 = 26 \\
\frac{a^2}{12} + a = 0 \\
a^2 + 12a = 0 \\
a(a+12) = 0 \\
a = 0 \lor a = -12 \\
\gamma_1: x^2 + y^2 + 4y - 22 = 0 \\
\gamma_2: x^2 + y^2 - 12x + (4-8)y + 36 - 22 = 0 \\
\gamma_2: x^2 + y^2 - 12x - 4y + 14 = 0
[/math]

Spero ti sia stato d'aiuto. Se hai qualche dubbio su qualche cosa chiedi pure :)
Ciao