Circonferenza e Iperbole.
Ciao a tutti, avrei alcuni dubbi sulla risoluzione di 3 esercizi che mi sono stati assegnati per casa, se mi date un aiuto ve ne sarei grato.
Determinare l'equazioine del luogo dei centri delle circonferenze tangenti all'asse delle x che staccano sull'asse y una corda di lunghezza 4. [RISULTATO: y^2-x^2=4]
Determinar i valori dei parametri a e b per i quali l'iperbole y=(ax-5)/(bx+1) ha come asintoti le rette x=1 e y=-2
Nell'equazione (x^2)/(2k-4)+(y^2)/(k+1)=1 determinare per quali valori di k si hanno.
Determinare l'equazioine del luogo dei centri delle circonferenze tangenti all'asse delle x che staccano sull'asse y una corda di lunghezza 4. [RISULTATO: y^2-x^2=4]
Determinar i valori dei parametri a e b per i quali l'iperbole y=(ax-5)/(bx+1) ha come asintoti le rette x=1 e y=-2
Nell'equazione (x^2)/(2k-4)+(y^2)/(k+1)=1 determinare per quali valori di k si hanno.
iperboli
iperboli equilatere
iperboli con fuochi sull'asse y
ellissi
Risposte
scusa se ti rispondo solo oggi, ma ieri non riuscivo a trovare la soluzione nonostante ce l'avessi sotto il naso. se ti serve ancora, ti posto le soluzioni. altrimenti mi dispiace :dontgetit ma ieri proprio non ci arrivavo
1) chiamo la cironferenza x^2+y^2+ax+by+c=0. visto che è tangente all'asse x metto a sistema l'equazione della circonferenza con quella dell'asse delle x (y=0) e pongo il delta dell'equazione risolvente uguale a 0:
x^2+y^2+ax+by+c=0
y=0
x^2+ax+c=0
y=0
l'equazione risolvente è x^2+ax+c e il suo deta è a^2-4c. devo quindi porre
a^2-4c=0 ---> c=a^2/4
trovo ora le intersezioni della circonferenza con l'asse delle y:
x^2+y^2+ax+by+a^2/4=0
x=0
y^2+by+a^2/4=0
x=0
il delta è b^2-4*a^2/4=b^2-a^2. affinchè ci siano soluzioni, b^2-a^2>0 ---> b^2>a^2 ---> |b|>|a|
le intersezioni con l'asse y sono quindi
la distanza tra A e B vale
devo trovare quelle circonferenze per cui AB=4 e quindi
b^2-a^2=16
b^2=a^2+16
la circonferenza è quindi del tipo
e il centro di questa circonferenza è
visto che
il punto C può essere visto come
e quindi i punti C sono del tipo
4y^2=4x^2+16
4y^2-4x^2=16
y^2-x^2=16
2) un'equazione del tipo
ha per asintoti
nel tuo caso
d=a
e=-5
f=b
g=1
devi quindi porre
e
poste queste condizioni, gli asintoti sono
3) le iperboli sono del tipo
mentre le ellissi sono del tipo
affinchè la tua equazione sia un iperbole (2k-4) e (k+1) devono essere discordi, e cioè
(2k-4)(k+1)0 ---> k>-1. ora devo intersecare k>-1 e (k2) che mi da per soluzioni k>2. riasumendo il tutto, se -1
1) chiamo la cironferenza x^2+y^2+ax+by+c=0. visto che è tangente all'asse x metto a sistema l'equazione della circonferenza con quella dell'asse delle x (y=0) e pongo il delta dell'equazione risolvente uguale a 0:
x^2+y^2+ax+by+c=0
y=0
x^2+ax+c=0
y=0
l'equazione risolvente è x^2+ax+c e il suo deta è a^2-4c. devo quindi porre
a^2-4c=0 ---> c=a^2/4
trovo ora le intersezioni della circonferenza con l'asse delle y:
x^2+y^2+ax+by+a^2/4=0
x=0
y^2+by+a^2/4=0
x=0
il delta è b^2-4*a^2/4=b^2-a^2. affinchè ci siano soluzioni, b^2-a^2>0 ---> b^2>a^2 ---> |b|>|a|
le intersezioni con l'asse y sono quindi
[math]A(0;\frac{-b+\sqrt{b^2-a^2}}2)[/math]
e [math]B(0;\frac{-b-\sqrt{b^2-a^2}}2)[/math]
la distanza tra A e B vale
[math]\frac{-b+\sqrt{b^2-a^2}}2-\frac{-b-\sqrt{b^2-a^2}}2=\frac{2\sqrt{b^2-a^2}}2=\sqrt{b^2-a^2}[/math]
devo trovare quelle circonferenze per cui AB=4 e quindi
[math]\sqrt{b^2-a^2}=4[/math]
b^2-a^2=16
b^2=a^2+16
[math]b=\pm\sqrt{a^2+16}[/math]
la circonferenza è quindi del tipo
[math]x^2+y^2+ax\pm\sqrt{a^2+16}+\frac{a^2}4=0[/math]
e il centro di questa circonferenza è
[math]C(-\frac a2;\mp\frac{\sqrt{a^2+16}}2)[/math]
visto che
[math]a^2=4*(-\frac a2)^2[/math]
il punto C può essere visto come
[math]C(-\frac a2;\mp\frac{\sqrt{4(-\frac a2)^2+16}}2)[/math]
e quindi i punti C sono del tipo
[math]y=\mp\frac{\sqrt{4x^2+16}}2[/math]
[math]y^2=\frac{4x^2+16}4[/math]
4y^2=4x^2+16
4y^2-4x^2=16
y^2-x^2=16
2) un'equazione del tipo
[math]y=\frac{dx+e}{fx+g}[/math]
con [math]f\ne0[/math]
e [math]dg\ne ef[/math]
ha per asintoti
[math]x=-\frac gf[/math]
e [math]y=\frac df[/math]
nel tuo caso
d=a
e=-5
f=b
g=1
devi quindi porre
[math]b\ne 0[/math]
e
[math]a*1\ne -5*b[/math]
[math]a\ne-5b[/math]
poste queste condizioni, gli asintoti sono
[math]x=-\frac1b[/math]
e [math]y=\frac ab[/math]
3) le iperboli sono del tipo
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1[/math]
mentre le ellissi sono del tipo
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]
affinchè la tua equazione sia un iperbole (2k-4) e (k+1) devono essere discordi, e cioè
(2k-4)(k+1)0 ---> k>-1. ora devo intersecare k>-1 e (k2) che mi da per soluzioni k>2. riasumendo il tutto, se -1
Grazie Mille Plum!
di niente, mi scuso ancora per il ritardo
per i due punti del terzo esercizio non so come fare, mi mancano alcune nozioni che dovrei rivedere. se non riesci a farli dimmelo, che cercherò di rispolverare quelle formule
per i due punti del terzo esercizio non so come fare, mi mancano alcune nozioni che dovrei rivedere. se non riesci a farli dimmelo, che cercherò di rispolverare quelle formule
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