Circonferenza che determina corda con asse ascisse
Salve. Vorrei un aiuto dato che non riesco a risolvere questo problema.
Si tratta di scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti la retta $2x+y-4=0$ (retta R) nel suo punto di tangenziale di ascissa 1 e che determinano sull'asse x una corda di misura 4.
- risultato:
- prima: $x^2+y^2+2x-2y-3=0$
-seconda :$x^2+y^2-10x-8y+21=0$
Ho pensato di determinare la retta perpendicolare a quella data, poiché passa per i centri delle circonferenze.
Eccola :
(retta Q) : $2y-x-3=0$
e quindi il centro delle circonferenze può essere indicato come
- ascissa : $ alpha $
- ordinata : $ 1/2 alpha + 3/2$
Con questa informazione ho cercato di determinare il raggio:
(formula della distanza di un punto da una retta):
- $ (|r = 1/2alpha+3/2 +2alpha - 4|)/sqrt(5)$
Conoscendo il centro e il raggio, costruisco la formula della circonferenza:
- $ (x-alpha)^2 + (y-1/2alpha+3/2)^2 = ((|r = 1/2alpha+3/2 +2alpha - 4|)/sqrt(5))^2$
Seguendo le istruzioni di un esercizio svolto nel mio libro di testo (relativamente ad un esercizio analogo), ho imposto a questa equazione i valori del punto di tangenza (preso valori di retta nel punto di ascissa 1 ) quindi P (1 , 2), con l'intento di avere una soluzione rispetto ad $alpha$, ma il risultato è stato che tutti i valori si elidevano e ottenevo $ 0 = 0$ !
Ho pensato che mancava il riferimento relativo alla corda e che perciò l'equazione valeva per ogni "alpha" (giusto?).
A questo punto però la mia "fantasia" mi ha fatto cercare altre equazioni da mettere in sistema, ma non sono riuscita ad ottenere qualcosa di valido e/o semplice (solo stranissime equazioni con così troppe variabili che dubito siano valide).
Mi potreste dare un suggerimento per poter continuare?
Grazie e buona serata.
Si tratta di scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti la retta $2x+y-4=0$ (retta R) nel suo punto di tangenziale di ascissa 1 e che determinano sull'asse x una corda di misura 4.
- risultato:
- prima: $x^2+y^2+2x-2y-3=0$
-seconda :$x^2+y^2-10x-8y+21=0$
Ho pensato di determinare la retta perpendicolare a quella data, poiché passa per i centri delle circonferenze.
Eccola :
(retta Q) : $2y-x-3=0$
e quindi il centro delle circonferenze può essere indicato come
- ascissa : $ alpha $
- ordinata : $ 1/2 alpha + 3/2$
Con questa informazione ho cercato di determinare il raggio:
(formula della distanza di un punto da una retta):
- $ (|r = 1/2alpha+3/2 +2alpha - 4|)/sqrt(5)$
Conoscendo il centro e il raggio, costruisco la formula della circonferenza:
- $ (x-alpha)^2 + (y-1/2alpha+3/2)^2 = ((|r = 1/2alpha+3/2 +2alpha - 4|)/sqrt(5))^2$
Seguendo le istruzioni di un esercizio svolto nel mio libro di testo (relativamente ad un esercizio analogo), ho imposto a questa equazione i valori del punto di tangenza (preso valori di retta nel punto di ascissa 1 ) quindi P (1 , 2), con l'intento di avere una soluzione rispetto ad $alpha$, ma il risultato è stato che tutti i valori si elidevano e ottenevo $ 0 = 0$ !
Ho pensato che mancava il riferimento relativo alla corda e che perciò l'equazione valeva per ogni "alpha" (giusto?).
A questo punto però la mia "fantasia" mi ha fatto cercare altre equazioni da mettere in sistema, ma non sono riuscita ad ottenere qualcosa di valido e/o semplice (solo stranissime equazioni con così troppe variabili che dubito siano valide).
Mi potreste dare un suggerimento per poter continuare?
Grazie e buona serata.
Risposte
Ciao,
ti manca infatti da sfruttare l'informazione sulla corda che le circonferenze cercate devono intercettare sull'asse $x$. Metti a sistema l'equazione delle circonferenze in funzione di $\alpha$ con la retta $y=0$ (asse $x$). Troverai due valori di $x$ ($x_1$ e $x_2$) in funzione di $\alpha$. Imponi che la loro distanza (che è la corda) deve essere uguale a $4$ ($|x_1-x_2|=4$) e da qui ricavi i valori di $\alpha$. Dovrebbe funzionare.
ti manca infatti da sfruttare l'informazione sulla corda che le circonferenze cercate devono intercettare sull'asse $x$. Metti a sistema l'equazione delle circonferenze in funzione di $\alpha$ con la retta $y=0$ (asse $x$). Troverai due valori di $x$ ($x_1$ e $x_2$) in funzione di $\alpha$. Imponi che la loro distanza (che è la corda) deve essere uguale a $4$ ($|x_1-x_2|=4$) e da qui ricavi i valori di $\alpha$. Dovrebbe funzionare.
Ciao
Grazie - stavo proprio adesso per scrivere che - dato che la notte porta consiglio - sono riuscita finalmente a trovare la soluzione proprio imponendo all`equazione della circonferenza di passare per uno degli estremi della corda che corrisponde a $-a/2+2$ e lavorando con $-a/2$ e $-b/2$ opportunamente presi quali coordinatè del centro.
Grazie grazie per la vostra ancora di salvezza. Ciao e alla prossima.
Grazie - stavo proprio adesso per scrivere che - dato che la notte porta consiglio - sono riuscita finalmente a trovare la soluzione proprio imponendo all`equazione della circonferenza di passare per uno degli estremi della corda che corrisponde a $-a/2+2$ e lavorando con $-a/2$ e $-b/2$ opportunamente presi quali coordinatè del centro.
Grazie grazie per la vostra ancora di salvezza. Ciao e alla prossima.
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