Circonferenza

[elios2]

Determinare l'equazione della circonferenza tangente nel punto $(4;1)$ alla retta di equazione $3x-4y-8=0$ e passante per $(5;3)$

[MaMo2]

Che cosa non ti è chiaro?
Parti dalla equazione generale della circonferenza e imponi le tre condizioni date dal problema.

[clarkk]

risolvi un sistema a 3, sostituendo i due punti che hai:
prima equazione del sistema: 16+1+4a+b+c=0
seconda equazione del sistema: 25+9+5a+3b+c=0
terza equazione del sistema: Δ=0
Per il Δ=0 devi ricavartelo da un altro sistema tra retta e circonferenza.

[Steven11]

Chiamiamo
$A(4,1)$
$B(5,3)$
e $t$ la retta tangente.

Devi sapere che le corde di una circonferenza godono di una proprietà: i loro assi passano per il centro.
Non solo: se una retta è tangente alla circonferenza nel punto $P$, allora il raggio che unisce centro con $P$ è perpendicolare alla retta.
Fatti uno schizzo e tutto sembrerà banale.

Sfruttando queste importanti proprietà, sai che l'asse di $\bar{AB}$ passa per il centro: ma anche la retta perpendicolare a
$t$ passa per il centro, in virtù della seconda proprietà che ti dicevo.
Perciò queste due rette, che puoi banalmente trovare, si intersecano nel centro: l'intersezione è a sua volta semplice da trovare.
Una volta trovato il centro, è facile, dato che hai anche due punti.
Spesso affrontare questi problemi con la geometria elementare è più veloce, poi con la circonferenza io trovo molto noioso fare il $Delta=0$

Ciao

[elios2]

Grazie mille!!!

[Sk_Anonymous]

Suggerisco ad elios di imparare bene anche il metodo dei fasci di curve,quando ne avrà l'occasione.Per esempio il problema da lui proposto può essere risolto quasi senza calcoli ( o quanto meno senza calcoli noiosi e spesso forieri di errori ) .Si comincia con l'osservare che la circonferenza richiesta appartiene al fascio ( di circonferenze) determinato dalla circonferenza di raggio nullo e centro (4,1) e dalla retta tangente (una retta si può considerare come una circonferenza di raggio infinito).Quindi il fascio in questione ha equazione:
$(x-4)^2+(y-1)^2+lambda(3x-4y-8)=0$.Imponendo il passaggio per (5,3) si ha $lambda=1$ e sostituendo tale valore nell'equazione del fascio si ha l'equazione della circonferenza $gamma$ richiesta:
$gamma:x^2+y^2-5x-6y+9=0$
Ciao