Circonferenza
Salve a tutti!Una mia amica mi ha suggerito questo forum ed eccomi qui a chiedere il vostro aiuto.
Tra gli esercizi assegnati per le vacanze dalla cara prof c'è il seguente
Scrivere l'equazione della circonferenza passante per l'origine e tangente alla retta x-2y-1=0 nel punto di ascissa 2.
Sraà che sono in black out totale da un po',ma non riesco a risolverlo..Help!
Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
M.L.
Tra gli esercizi assegnati per le vacanze dalla cara prof c'è il seguente
Scrivere l'equazione della circonferenza passante per l'origine e tangente alla retta x-2y-1=0 nel punto di ascissa 2.
Sraà che sono in black out totale da un po',ma non riesco a risolverlo..Help!
Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
M.L.
Risposte
Beh l'idea chiave per risolvere questo esercizio in modo veloce secondo me sta nell'osservare che la retta tangente forma un angolo di...?... con il raggio passante per il punto di tangenza. Quindi il raggio rappresenta la distanza di tale retta dal punto fisso detto...?... . Bene Poi imponendo le condizioni che hai nel testo nella genrica equazione di circonferenza di centro : $(a,b)$ e raggio $R$: $C: (x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
e dovresti aver finito
e dovresti aver finito
Mi permetto di segnalarti anche il "modo classico" in modo da capire che hai più scelte a disposizione.
Primo passo
Il punto O appartiene alla circonferenza, quindi le sue coordinate soddisfano la sua equazione. Troverai $c=0$ e l'equazione delle infinite circonferenze che passano per il punto O
Il punto di ascissa $2$ della retta è $A(2,1/2)$ ripetendo il discorso precedente avrai l'equazione delle infinite circonferenze che passano per i due punti menzionati, dovrebbe essere, salvo errori:
$2x^2+2y^2+2ax-8ay-17y=0$
A questo punto sfruttando la condizione di tangenza, ovvero facendo il sistema di tale equazione con quella della retta ( dovresti ottenere la seguente equazione
$5x^2+x(-19-4a)+8a+18=0$
Che risolta in $x$ non fa altro che darci le ascisse dei punti di intersezione della retta con la circonferenza)
Ma a noi interessa che la retta abbia un solo punto di intersezione con la circonferenza, imponiamo quindi che il DELTA di tale equazione sia uguale a $0$.
da cui ricaviamo $a=1/4$
$b=-19/2$
$c=0$
ovvero l'equazione cercata
$x^2+y^2+(1/4)x-(19/2)y=0$
Primo passo
Il punto O appartiene alla circonferenza, quindi le sue coordinate soddisfano la sua equazione. Troverai $c=0$ e l'equazione delle infinite circonferenze che passano per il punto O
Il punto di ascissa $2$ della retta è $A(2,1/2)$ ripetendo il discorso precedente avrai l'equazione delle infinite circonferenze che passano per i due punti menzionati, dovrebbe essere, salvo errori:
$2x^2+2y^2+2ax-8ay-17y=0$
A questo punto sfruttando la condizione di tangenza, ovvero facendo il sistema di tale equazione con quella della retta ( dovresti ottenere la seguente equazione
$5x^2+x(-19-4a)+8a+18=0$
Che risolta in $x$ non fa altro che darci le ascisse dei punti di intersezione della retta con la circonferenza)
Ma a noi interessa che la retta abbia un solo punto di intersezione con la circonferenza, imponiamo quindi che il DELTA di tale equazione sia uguale a $0$.
da cui ricaviamo $a=1/4$
$b=-19/2$
$c=0$
ovvero l'equazione cercata
$x^2+y^2+(1/4)x-(19/2)y=0$
Se conosci i fasci di circonferenze puoi anche procedere così :
la crf cercata sarà una combinazione lineare tra le crf degeneri seguenti:
* crf con centro il punto di tangenza $(2, 1/2)$ e raggio = 0 e quindi di equazione : $(x-2)^2+(y-1/2)^2=0 $
* la retta stessa , che è una crf degenere del fascio di raggio infinito : $x-2y-1=0$
e quindi avrà equazione : $ (x-2)^2+(y-1/2)^2+k(x-2y-1)=0 $; basta ora imporre che passi per (0,0) e si trova così il valore di k $(=17/4)$ etc.
la crf cercata sarà una combinazione lineare tra le crf degeneri seguenti:
* crf con centro il punto di tangenza $(2, 1/2)$ e raggio = 0 e quindi di equazione : $(x-2)^2+(y-1/2)^2=0 $
* la retta stessa , che è una crf degenere del fascio di raggio infinito : $x-2y-1=0$
e quindi avrà equazione : $ (x-2)^2+(y-1/2)^2+k(x-2y-1)=0 $; basta ora imporre che passi per (0,0) e si trova così il valore di k $(=17/4)$ etc.
Ragazzi... il metodo più veloce non è mica il vostro... ma quello trovato da Monnalisa: SCRIVERE NEL FORUM PER FARSI FARE GLI ESERCIZI PER LE VACANZE!
Speriamo almeno che abbia imparato qualcosa, analizzando tre metodi diversi!!
Buonasera a tutti e per chi come me è appena tornato dalle vacanze..ben tornati in città!
La settimana di vacanza a Lanzarote ha ripristinato le idee nel cervello tant'è che in spiaggia sono riuscita a risolvere l'esercizio usando quello che Celine ha definito "metodo classico"(chissà perchè nei problemi di analitica uso sempre la via più lunga,me lo ripete spesso anche la prof..
).Sono però rimasta incuriosita dal metodo veloce di cavallipurosangue.Ti spiacerebbe spiegarmelo nel dettaglio?La tangente forma un angolo retto con il raggio che a sua volta è la distanza di tale retta dal centro.Però come faccio dalla generica equazione con centro (a,b) e raggio R a ricondurmi alla circonferenza cercata?
Grazie anche per l'idea dei fasci di circonferenza,in aula non li avevamo visti in maniera troppo approfondita.
Infine caro matematico estinto..sono io la prima che si lamenta se qualcuno non fa i compiti,figuriamoci se mi azzardo a farmi fare un ex senza provarci e soprattutto senza cercare di capirlo!
Grazie davvero a tutti
M.L
La settimana di vacanza a Lanzarote ha ripristinato le idee nel cervello tant'è che in spiaggia sono riuscita a risolvere l'esercizio usando quello che Celine ha definito "metodo classico"(chissà perchè nei problemi di analitica uso sempre la via più lunga,me lo ripete spesso anche la prof..
).Sono però rimasta incuriosita dal metodo veloce di cavallipurosangue.Ti spiacerebbe spiegarmelo nel dettaglio?La tangente forma un angolo retto con il raggio che a sua volta è la distanza di tale retta dal centro.Però come faccio dalla generica equazione con centro (a,b) e raggio R a ricondurmi alla circonferenza cercata?Grazie anche per l'idea dei fasci di circonferenza,in aula non li avevamo visti in maniera troppo approfondita.
Infine caro matematico estinto..sono io la prima che si lamenta se qualcuno non fa i compiti,figuriamoci se mi azzardo a farmi fare un ex senza provarci e soprattutto senza cercare di capirlo!
Grazie davvero a tutti
M.L
Ciao, a dire tutta la verità, nella fretta avevo inteso il testo in modo leggermente differente, per questo penso che la mia soluzione si allungherà di un pochino, ma non troppo...
Allora:
Intanto dato che il punto di ascissa 2 appartiene alla retta (anche) si ha che: $P: (2,1/2)$
Poi sappiamo che il generico centro $C: (a,b)$ appartiene alla retta ortogonale alla tangente in quel punto preciso, quindi troviamola questa retta:
$t:y=-2x+9/2$ , quindi il centro avrà adesso un grado di libertà in meno: $C: (a,-2a+9/2)$.
Sappiamo inoltre che la distanza tra la retta tangente ed il generico centro è uguale al raggio, quindi:
${|a-2(-2a+9/2)-1|}/\sqrt{5}=R=>R^2=5(a-2)^2$
A questo punto sotituendo questi valori nella generica equazione della circonferenza ed imponendo il passaggio per l'origine:
$(x-a)^2+(y+2a-9/2)^2=5(a-2)^2=>C ( 0,0)=a^2+(2a-9/2)^2=5(a-2)^2=>a=-1/8,b=19/4,R^2=1445/64$
Quindi alla fine:
$(x+1/8)^2+(y-19/4)^2=1445/64$
Allora:
Intanto dato che il punto di ascissa 2 appartiene alla retta (anche) si ha che: $P: (2,1/2)$
Poi sappiamo che il generico centro $C: (a,b)$ appartiene alla retta ortogonale alla tangente in quel punto preciso, quindi troviamola questa retta:
$t:y=-2x+9/2$ , quindi il centro avrà adesso un grado di libertà in meno: $C: (a,-2a+9/2)$.
Sappiamo inoltre che la distanza tra la retta tangente ed il generico centro è uguale al raggio, quindi:
${|a-2(-2a+9/2)-1|}/\sqrt{5}=R=>R^2=5(a-2)^2$
A questo punto sotituendo questi valori nella generica equazione della circonferenza ed imponendo il passaggio per l'origine:
$(x-a)^2+(y+2a-9/2)^2=5(a-2)^2=>C ( 0,0)=a^2+(2a-9/2)^2=5(a-2)^2=>a=-1/8,b=19/4,R^2=1445/64$
Quindi alla fine:
$(x+1/8)^2+(y-19/4)^2=1445/64$
Grazie!
Tra i miei vari tentativi ero arrivata a scrivere l'equazione della retta ortogonale,ma non mi sono ricordata che,in base all'appartenenza,il centro aveva un grado di libertà in meno.Quindi avevo cambiato strada tuffandomi nei passaggi più lunghi.Tra gli alri ex ne ho letto uno simile,proverò a risolverlo con il tuo matedo,così almeno velocizzo un po'.
M.L
Tra i miei vari tentativi ero arrivata a scrivere l'equazione della retta ortogonale,ma non mi sono ricordata che,in base all'appartenenza,il centro aveva un grado di libertà in meno.Quindi avevo cambiato strada tuffandomi nei passaggi più lunghi.Tra gli alri ex ne ho letto uno simile,proverò a risolverlo con il tuo matedo,così almeno velocizzo un po'.
M.L
Di niente!!
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