Circonferenza

[caro4]

Help,non so risolvere l'esercizio:
"scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti agli assi cartesiani ed aventi i centri sulla retta 2x-y-3=0.
Verificare:- che la retta 3x-4y=12 è tangente ad entrambe;
-che i centri sono allineati con il punto A della retta avente ordinata -3;
-che il perimetro del triangolo circoscritto alla circonferenza di raggio minore e individuato dagli assi e da r è 12".

Il problema è soprattutto nel primo punto in cui non so come usare l'informazione dell'appartenenza del centro alla retta,perchè alla condizione di tangenza agli assi ci arrivo..
Grazie

[GoldWings]

I centri appartengono alla retta 2x-y-3=0 (y=2x-3) per cui puoi impostare il problema in modo parametrico:
C(k;2k-3)
La condizione di tangenza agli assi è |k|=|2k-3|
elevando al quadrato entrambi i membri e risolvendo -> k1=3 e k2=1 -> C1(3;3) e C2 (1;-1)
i raggi sono rispettivamente r1=3 ed r2=1
Per cui, circ1: x^2+y^2-6x-6y+9 e circ2: x^2+y^2-2x+2y+1=0

[GoldWings]

1 verifica:
la distanza dal centro della prima circonferenza alla retta dev'essere uguale al raggio della circonferenza stessa. Idem dicasi per la seconda circonferenza.

C(3;3)
Utilizzando la formula della distanza di un punto da una retta si ha:
|9-12-12|/sqrt(9+16)= 15/5=3 il risultato è uguale al raggio della prima circ. quindi la verifica è fatta...

2 verifica:
A(0;-3)

la retta passante per C1(3;3)e C2(1;-1) è:
(x-1)/(3-1)=(y+1)/(3+1)
(x-1)/2=(y+1)/4
2x-2=y+1
2x-y-3=0

Siccome essa passa anche per il punto A (verificalo sostituendo le coordinate), i 3 punti sono allineati.

3 verifica:
Il problema si riduce a trovare la terza retta che, con gli assi cartesiani, forma il triangolo.
La retta passante per il centro della circonferenza e per l'origine degli assi cartesiani è l'asse del triangolo circoscritto relativo al lato appartenente alla retta ignota.
Questa è y=-x
Le intersezioni di tale con la circonferenza sono (sistema):
A(1-sqrt(2)/2;-1+sqrt(2)/2) e B(1+sqrt(2)/2;-1-sqrt(2)/2)
Il punto che ci interessa è il secondo perchè quello per cui passa la retta da trovare, tangente alla circonferenza.
Essa è perpendicolare a y=-x ed ha quindi coefficiente angolare pari a 1 -> y=x+q
Si impone il passaggio per B e si ottiene:
y=x-2-sqrt(2)
I vertici T ed R del triangolo saranno le intersezioni della retta con gli assi:
T(2+sqrt(2);0) e R(0;-2-sqrt(2)

La distanza TR è 2*sqrt(2)+2

Il perimetro è 2*sqrt(2)+ 6
non mi viene il tuo risultato... controlla che non abbia sbagliato i calcoli... CIAO

[cavallipurosangue]

quote:

---

Originally posted by GoldWings


La condizione di tangenza agli assi è |k|=|2k-3|

---

Scusa, ma non ho ben capito il passaggio. Ma consideri insieme le due circonferenze, non una alla volta?

--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.

[GoldWings]

Praticamente io procedo senza sapere il numero delle circonferenze...
L'unica cosa certa è che un'eventuale circonferenza tangente agli assi, deve avere il centro equidistante da essi... ecco il motivo del valore assoluto!

[cavallipurosangue]

Si hai ragione... Pensa che io l'avevo interpretato così: che una fosse tangete all'asse x ed un'altra all'asse y...
Che botta che c'ho...[:D][:p]

--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.