Circonferenza
Ciao a tutti, questo è un esercizio del compito di matematica che io non sono riuscita a fare.... Mi potete dire come andava risolto?
2x^2+2y^2+x(2k+1)+y(2k+3)+2k-1=0
Dimostrare che rappresenta un fascio per qualunque valore reale di k. Trovare i punti base, l'equazione dell'asse radicale, l'equazione della retta su cui giaccion i centri delle circonferenza del fascio.
Sia data una circonferenza di centro C(-2;-2) e raggio uguale a due. Si trovino le equazioni delle circonferene di raggio unitario interne alla circonferenza ad esso tangenti e tangenti rispetto a x e y....
Grazie.
2x^2+2y^2+x(2k+1)+y(2k+3)+2k-1=0
Dimostrare che rappresenta un fascio per qualunque valore reale di k. Trovare i punti base, l'equazione dell'asse radicale, l'equazione della retta su cui giaccion i centri delle circonferenza del fascio.
Sia data una circonferenza di centro C(-2;-2) e raggio uguale a due. Si trovino le equazioni delle circonferene di raggio unitario interne alla circonferenza ad esso tangenti e tangenti rispetto a x e y....
Grazie.
Risposte
le coordinate del centro sono C(x0, y0) con
x0 = -(2k+1)/2 = - k - 1/2 => k = - x0 - 1/2
y0 = -(2k+3)/2 = - k - 3/2 => y0 = x0 + 1/2 + 3/2 = x0 + 2
dunque la retta su cui giacciono i centri delle circonferenze del fascio è
y = x + 2
si ha poi
r^2 = - c + x0^2 + y0^2
= -(2k-1) + (-k-1/2)^2 + (-k-3/2)^2
= - 2k - 1 + k^2 + k + 1/4 + k^2 + 3k + 9/4
= 2k^2 + 2k + 3/2
che deve essere positivo o nullo, in quanto è il quadrato del raggio. risolvendo per k si ha
delta/4 = 1 - 3 = - 2 < 0
dunque il trinomio non si annulla mai e assume sempre segno positivo. pertanto il raggio delle circonferenze del fascio è non negativo per ogni k, dunque per ogni k tale fascio rappresenta una circonferenza.
ehm... non ricordo cosa siano i punti base e l'asse radicale... colpa della vecchiaia!
graficamente è evidente che le due circonferenze devono essere centrate rispettivamente in (-2, -1) e (-1, -2), ed avere raggio 1. i calcoli non li faccio perché è tardi, ma basta trovare l'equazione della circonferenza iniziale e, per la circonferenza tangente rispetto all'asse x, scrivere l'equazione generica (3 parametri: a,b,c), imporre raggio 1, trovare le intersezioni con la circonferenza e imporre che coincidano, trovare le intersezioni con l'asse x e imporre che coincidano (3 condizioni x 3 parametri da determinare). analogamente per l'asse y. le due circonferenze cercate dovrebbero essere rispettivamente
x^2 + y^2 + 4x + 2y + 2
x^2 + y^2 + 2x + 4y + 2
x0 = -(2k+1)/2 = - k - 1/2 => k = - x0 - 1/2
y0 = -(2k+3)/2 = - k - 3/2 => y0 = x0 + 1/2 + 3/2 = x0 + 2
dunque la retta su cui giacciono i centri delle circonferenze del fascio è
y = x + 2
si ha poi
r^2 = - c + x0^2 + y0^2
= -(2k-1) + (-k-1/2)^2 + (-k-3/2)^2
= - 2k - 1 + k^2 + k + 1/4 + k^2 + 3k + 9/4
= 2k^2 + 2k + 3/2
che deve essere positivo o nullo, in quanto è il quadrato del raggio. risolvendo per k si ha
delta/4 = 1 - 3 = - 2 < 0
dunque il trinomio non si annulla mai e assume sempre segno positivo. pertanto il raggio delle circonferenze del fascio è non negativo per ogni k, dunque per ogni k tale fascio rappresenta una circonferenza.
ehm... non ricordo cosa siano i punti base e l'asse radicale... colpa della vecchiaia!
graficamente è evidente che le due circonferenze devono essere centrate rispettivamente in (-2, -1) e (-1, -2), ed avere raggio 1. i calcoli non li faccio perché è tardi, ma basta trovare l'equazione della circonferenza iniziale e, per la circonferenza tangente rispetto all'asse x, scrivere l'equazione generica (3 parametri: a,b,c), imporre raggio 1, trovare le intersezioni con la circonferenza e imporre che coincidano, trovare le intersezioni con l'asse x e imporre che coincidano (3 condizioni x 3 parametri da determinare). analogamente per l'asse y. le due circonferenze cercate dovrebbero essere rispettivamente
x^2 + y^2 + 4x + 2y + 2
x^2 + y^2 + 2x + 4y + 2
Non ci sarei mai arrivata....... Ti ringrazio!!
prego! bisogna solo applicare le solite regolette. l'unica parte interessante è mostrare che il fascio è... un fascio per ogni k. poiché l'espressione che ha l'equazione è quella di una circonferenza, ti devi domandare: quali sono le condizioni per cui la circonferenza che rappresenta esiste?
i parametri dell'equazione della circonferenza sono a, b, c. a e b determinano le coordinate del centro. tutte le coordinate sono valide, perché la circonferenza può benissimo stare ovunque. c determina invece il raggio. qui bisogna stare attenti. il raggio deve esistere, ed essere positivo. possiamo ricavare il suo quadrato dall'espressione di c. pertanto r^2 deve essere positivo, sennò la radice di un numero negativo non può rappresentare la lunghezza del raggio!
devi essere positiva, nell'affrontare i problemi, cercare sempre di capire quali sono le grandezze che hai in mano e quando hanno senso... non ti buttare giù
i parametri dell'equazione della circonferenza sono a, b, c. a e b determinano le coordinate del centro. tutte le coordinate sono valide, perché la circonferenza può benissimo stare ovunque. c determina invece il raggio. qui bisogna stare attenti. il raggio deve esistere, ed essere positivo. possiamo ricavare il suo quadrato dall'espressione di c. pertanto r^2 deve essere positivo, sennò la radice di un numero negativo non può rappresentare la lunghezza del raggio!
devi essere positiva, nell'affrontare i problemi, cercare sempre di capire quali sono le grandezze che hai in mano e quando hanno senso... non ti buttare giù
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