Circonferenza

[Luca114]

É da un po' che sto avendo problemi con questo esercizio:

Disegna un triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, circoscritto ad una circonferenza di centro $O$ e diametro $DE$. Dimostra che $DE=(AB+AC)-BC$.

Il problema é che non so come iniziare. Lavoro sulla figura o con delle equazioni e relazioni da trovare? Come lo disegno il diametro?

[giammaria2]

Per il disegno consiglio di iniziare disegnando una circonferenza di centro $O$ e due sue tangenti perpendicolari fra loro; sono comode quella orizzontale e quella verticale. Con una terza tangente alla circonferenza completo il triangolo; non complico il disegno tracciando $DE$.
Per la dimostrazione, detti $P,Q,T$ i punti di tangenza con $AB,AC,BC$, noto che
$DE=OP+OQ=AQ+AP$
e proseguo usando il teorema delle due tangenti.

[chiaraotta1]

Poiché
$AB=AH+HB$,
$AC=AD+DC$,
$BC=BK+KC$
e
$HB=BK$,
$DC=KC$,
allora
$AB+AC-BC=AH+HB+AD+DC-BK-KC=AH+AD=2r=DE$.

[Luca114]

Ho riscontrato un altro problema nel dimostrare che :
In un triangolo la distanza tra ortocentro e baricentro è doppia di quella tra baricentro e circocentro.

Disegnando tutti quei segmenti non si capisce più niente, c'è un modo più "immediato"?

[giammaria2]

Vero, la figura risulta decisamente pasticciata ed hai tutte le ragioni nel dire che si finisce per non capire più niente. Ti consiglio di cominciare a semplificare il problema considerando il triangolo isoscele ABC di base AB e di individuare quei punti notevoli come intersezione dell'altezza CK con: l'altezza AL (trovi l'ortocentro H), la mediana AM (trovi il baricentro G) e l'asse di BC (trovi il circocentro O). In questo caso la figura è chiara e la dimostrazione non difficile.
Per il caso generale, prova a navigare un po' su internet; può esserti utile sapere che quei tre punti notevoli stanno su una stessa retta, detta retta di Eulero.