Circocentro equidistante dai vertici

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti. Mi date una dimostrazione del perchè in un qualsiasi triangolo il punto d' incontro degli assi (circocentro) è equidistante da ogni vertice?
Io ho provato con GeoGebra a fare una dimostrazione (nel caso di triangolo isoscele): nel grafico allegato ho trovato GC,GB e GA con il teorema di Pitagora e ho visto che coincidono.

[nicol1]

L'asse , per definizione , è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento di cui è l'asse.Pertanto appartenendo il circocentro a tutti e tre gli assi , è equidistante dagli estremi di tutti e tre i segmenti , ossia i vertici del triangolo.

[Luca114]

Mhm... É solito prenderlo per vero, ossia per definizione, ma c'é un teorema abbastanza generico che coinvolge anche la circonferenza che si dimostra solitamente in classe (noi l'avevamo fatto). La tesi sembra che cambi un po', ma è la stessa ed é: per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza (e se i punti fossero allineati? Prova a pensare dov'è l'assurdo).
Prendi un triangolo $ABC$ e disegna i tre assi e chiama $O$ il loro punto d'intersezione. Ora descrivi una circonferenza di centro $O$ con raggio $OA$.
Unisci $O$ con $A$ e $O$ con $C$. Considera i triangoli $AOH$ e $COH$ (ho chiamato $H$ il piede dell' asse del segmento $AC$): essi sono congruenti per il primo criterio. Quindi in particolare i due raggi della circonferenza. Ripeti l'operazione con l'altro raggio.

Oppure puoi optare direttamente a dimostrare la proprietà degli assi accennata nella risposta precedente.

Un teorema simile è dimostrare che in un triangolo l'intersezione delle bisettrici é l'incentro, centro della circonferenza inscritta. Ricordo che lo dimostrai al volo durante una interrogazione, non conoscendolo.