Ciao mi serve la soluzione di questo esercizio: es.188 pag 130 Q del libro manuale blu di matematica O+Q

[antho95]

Un triangolo ABC è inscritto in una circonferenza;le misure dei lati AC e BC sono rispettivamente 5 e 3 e l'area è 6.Determina il raggio della circonferenza circoscritta.

[Max 2433/BO]

Per risolvere questo problema, innanzi tutto dobbiamo trovare la misura del terzo lato, e per fare ciò ci basiamo sulla seguente formula:

[math] S\;=\; \sqrt {p(p\:-\,a)(p\;-\;b)(p\;-\;c)} [/math]

dove

p è il semiperimetro del nostro triangolo

a,b,c sono le misure dei tre lati

quindi ponendo

a = 5, b = 3 e c = x

avremo

[math] p \;=\; \frac {5\;+\;3\;+\;x}{2} \;=\; \frac {8\;+\;x}{2} [/math]

per cui la formula per il calcolo della superficie diventerà:

[math] \sqrt {\left (\frac {8\;+\;x}{2}\right) \left ( \frac {8\;+\;x}{2}\;-\; 5 \right) \left( \frac {8\;+\;x}{2}\;-\;3 \right) \left( \frac {8\;+\;x}{2} \;-\; x \right) } \;=\; 6 [/math]

eleviamo tutto al quadrato per eliminare la radice:

[math] \left (\frac {8\;+\;x}{2}\right) \left ( \frac {8\;+\;x}{2}\;-\; 5 \right) \left( \frac {8\;+\;x}{2}\;-\;3 \right) \left( \frac {8\;+\;x}{2} \;-\; x \right) \;=\; 36 [/math]

[math] \left (\frac {8\;+\;x}{2}\right) \left ( \frac {8\;+\;x\;-\;10}{2} \right) \left( \frac {8\;+\;x\;-\;6}{2}\right) \left( \frac {8\;+\;x\;-\;2x}{2}\right) \;=\; 36 [/math]

[math] \left (\frac {8\;+\;x}{2}\right) \left ( \frac {x\;-\;2}{2} \right) \left( \frac {;x\;+\;2}{2}\right) \left( \frac {8\;-\;x}{2}\right) \;=\; 36 [/math]

[math] \left(\frac {x^2\;+\;6x\;-\;16}{4}\right)\left(\frac {-x^2\;+\;6x\;+\;16}{4}\right) \;=\; 36 [/math]

[math] \frac {-x^4\;+\;68x^2\;-\;256}{16} \;=\; 36 [/math]

moltiplichiamo tutto per 16 per togliere il denominatore:

[math] -x^4\;+\;68x^2\;-\;256 \;=\; 576 [/math]

quindi dobbiamo trovare le radici della seguente equazione biquadratica:

[math] -x^4\;+\;68x^2\;-\;832\;=\; 0 [/math]

poniamo

[math] y\;=\;x^2 [/math]

per abbassare di grado l'equazione:

[math] -y^2\;+\;68y\;-\;832\;=\; 0 [/math]

[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-68 \;\pm\;\sqrt{68^2 \;-\;4\;.\;(-1)\;.\;(-832)}}{-2} [/math]

[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-68 \;\pm\;\sqrt{4624 \;-\;3328}}{-2} [/math]

[math] y_{1,2} \;=\; \frac {-68 \;\pm\;\sqrt{1296}}{-2} [/math]

[math] y_1 \;=\; \frac {-68 \;+\;36}{-2} \;=\; 16 [/math]

[math] y_2 \;=\; \frac {-68 \;-\;36}{-2} \;=\; 52 [/math]

A questo punto dobbiamo risolvere le seguenti due equazioni di secodno grado:

[math] x^2 \;=\; 16 [/math]

e

[math] x^2 \;=\; 52 [/math]

quindi le soluzioni della nostra equazione biquadratica di partenza saranno:

[math] x_1 \;=\; \sqrt {16} \;=\; 4 [/math]

[math] x_2 \;=\; -\sqrt {16} \;=\; -4 [/math]

[math] x_3 \;=\; \sqrt {52} \;=\; \sqrt {2^2\;.\;13} \;=\; 2\sqrt{13} [/math]

[math] x_4 \;=\; -\sqrt {52} \;=\; -2\sqrt {13} [/math]

A questo punto siamo arrivati ad avere dei valori per x, cioè per il nostro terzo lato del triangolo, che soddisfano l'area imposta pari a 6.

Parlando di misure di segmenti, eliminiamo quelle di segno negativo, perchè la lunghezza di un segmento è sempre positiva, per cui il lato mancante può essere o di 4 o di

[math] 2\sqrt{13} [/math]

.

In base a queste due possibilità, la misura del raggio circoscritto al triangolo sarà pari a:

[math] r \;=\;\frac {a\;.\;b\;.\;c}{4S} [/math]

quindi

1) lato c = 4

[math] r \;=\;\frac {5\;.\;3\;.\;4}{4\;.\;6} \;=\; 2,5 [/math]

2) lato c =

[math] 2\sqrt{13} [/math]

[math] r \;=\;\frac {5\;.\;3\;.\;2\sqrt{13}}{4\;.\;6} \;=\; 1,25\sqrt{13} [/math]

Ecco fatto.

:hi

Massimiliano

[bimbozza]

La soluzione di Max è corretta ma vorrei proporre una soluzione alternativa.

Sappiamo che, in un triangolo qualsiasi l'area si può calcolare tramite la formula

[math]Area= \frac{a*b* \sin{ \gamma }}{2}[/math]

dove a e b sono due lati del triangolo e gamma è l'angolo compreso tra i due lati, quindi

[math]6= \frac{5*3* \sin{ \gamma }}{2}[/math]

da cui

[math]\sin{ \gamma }= \frac{6*2}{5*3}=4/5[/math]

Per il teorema di Carnot( o del coseno) si ha che il terzo lato (che chiamiamo c) soddisfa la relazione

[math]c^2=a^2+b^2-2b*c* \cos {\gamma}[/math]

dove

[math] \cos \gamma= \pm \sqrt{1- ( \sin {\gamma})^2}= \pm \sqrt{1- ( 4/5)^2} = \pm \sqrt{1- 16/25}=\pm \sqrt{9/25}= \pm 3/5[/math]

quindi se il coseno è positivo si ha

[math]c^2=a^2+b^2-2bc \cos {\gamma}=5^2+3^2-2*5*3*3/5=25+9-18=16[/math]

da cui si ricava

[math]c=4[/math]

se il coseno è negativo si ha

[math]c^2=a^2+b^2-2bc \cos {\gamma}=5^2+3^2+2*5*3*3/5=25+9+18=52[/math]

da cui si ricava

[math]c= 2 \sqrt{13} [/math]

Adesso che abbiamo il terzo lato,con il teorema della corda, ricaviamo il raggio del cerchio circoscritto
Detto r tale raggio sappiamo che esso è uguale al rapporto tra un lato (nel nostro caso c) e il doppio del seno dell'angolo opposto a tale lato (cioè gamma) quindi, in formula

[math]r= \frac{c}{2* \sin{\gamma}} [/math]

Dato che c può assumere due valori, si ha che:
se

[math]c=4[/math]

abbiamo

[math]r= \frac{4}{2*4/5} = \frac{5}{2}[/math]

;
se

[math] c=2 \sqrt{13} [/math]

abbiamo

[math]r= \frac{2 \sqrt{13} }{2*4/5} =\frac{5 \sqrt{13}}{4}[/math]

[Max 2433/BO]

... "trigonometrica" la ragazza... ;)

Grande, bella soluzione anche la tua bimbozza...

:hi

Massimiliano