Chiusura e apertura di un insieme
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per quest'esercizio.
Sia A un insieme $A={1-(1/n)}$ con n $in$ N. Trovare la chiusura dell'insieme A, nonché la sua apertura.
Per la chiusura non ho avuto problemi: è l'unione dell'insieme A con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.
Poiché il punto di accumulazione è 1, l'insieme chiusura $A={1-(1/n)}$ $uu$ ${1}$
Come trovo, però, la frontiera dell'insieme A per determinare l'insieme apertura di A?
Sia A un insieme $A={1-(1/n)}$ con n $in$ N. Trovare la chiusura dell'insieme A, nonché la sua apertura.
Per la chiusura non ho avuto problemi: è l'unione dell'insieme A con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.
Poiché il punto di accumulazione è 1, l'insieme chiusura $A={1-(1/n)}$ $uu$ ${1}$
Come trovo, però, la frontiera dell'insieme A per determinare l'insieme apertura di A?
Risposte
Benvenuto nel forum.
Scusami se non riuscirò a seguire il dibattito, perché questa sera la mia connessione è veramente lenta!
Prova a partire dalla definizione: se $a=1-1/k =(k-1)/k", con "k in NN$ appartiene all'apertura di $A$, quali proprietà dovrebbe verificare?
Scusami se non riuscirò a seguire il dibattito, perché questa sera la mia connessione è veramente lenta!
Prova a partire dalla definizione: se $a=1-1/k =(k-1)/k", con "k in NN$ appartiene all'apertura di $A$, quali proprietà dovrebbe verificare?
Se così fosse allora $a$ sarebbe un punto interno all'insieme, cioè per cui esiste un intorno tutto contenuto nell'insieme.
Ho provato a ragionare in questo modo.
Dato che tutti i valori dell'insieme sono minori di $1$, $1$ è maggiorante di $A$. Dunque considero un numero reale positivo $\epsilon$ e verifico se ci sono elementi di A maggiori di $1-\epsilon$, cioè:
$1-(1/n)>1-\epsilon$
da cui $n>1/\epsilon$
Ciò significa che 1 è uno dei due punti di frontiera dell'insieme A.
E' corretto?
Ho provato a ragionare in questo modo.
Dato che tutti i valori dell'insieme sono minori di $1$, $1$ è maggiorante di $A$. Dunque considero un numero reale positivo $\epsilon$ e verifico se ci sono elementi di A maggiori di $1-\epsilon$, cioè:
$1-(1/n)>1-\epsilon$
da cui $n>1/\epsilon$
Ciò significa che 1 è uno dei due punti di frontiera dell'insieme A.
E' corretto?
Ti chiedevo di usare la definizione (e magari anche di scriverla) anche perché la terminologia può essere diversa da quella che ricordo io. La parte interna, quella che suppongo tu chiami apertura, dipende dalla topologia: nel caso di topologia discreta, essa coincide con l'insieme stesso. Tu hai parlato di $1$ come uno dei due punti di frontiera, ma anche questo bisognerebbe chiarire: non c'è dubbio che $1$ possa essere considerato "punto di accumulazione" non appartenente all'insieme, e ne è anche l'estremo superiore (però secondo l'ordinamento tradizionale), come invece $0$ appartiene all'insieme ma non è punto di accumulazione (è il "minimo", ma non saprei se è corretto considerarlo punto di frontiera, o almeno diversamente dagli altri "punti isolati").
Riepilogando, un qualunque elemento di $x in A$ è tale che $EE epsilon > 0 | (x - epsilon , x + epsilon) nn A = {x}$, cosa che non vale per $1 notin A$.
Secondo la topologia discreta, l'apertura di A coincide con A; secondo la topologia euclidea, l'apertura di A è l'insieme vuoto.
Spero di non avere scritto sciocchezze, ti prego di ricontrollare la tua definizione.
ciao
Riepilogando, un qualunque elemento di $x in A$ è tale che $EE epsilon > 0 | (x - epsilon , x + epsilon) nn A = {x}$, cosa che non vale per $1 notin A$.
Secondo la topologia discreta, l'apertura di A coincide con A; secondo la topologia euclidea, l'apertura di A è l'insieme vuoto.
Spero di non avere scritto sciocchezze, ti prego di ricontrollare la tua definizione.
ciao
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