Chiarimento rapido funzione

[mickey1]

Allora, stavo esaminando la seguente: $f(x) = root(3)(senx)$ e io gli ho attribuito un dominio equivalente a $RR$.
In effetti, in un programma come Derive, ottengo una funzione apparentemente definita solo per $[ 2kpi;pi + 2kpi ]$.

Il punto è che non ho capito perché.

[Sk_Anonymous]

Perché in Derive la radice cubica viene trattata come una funzione ad esponente reale non intero e, come per le funzioni esponenziali, viene richiesto che la base sia positiva.

[ViciousGoblin]

Probabilmente il programma considera che il dominio della radice cubica siano solo i numeri positivi.
Questo può sembrare strano ma diventa chiaro se pensi la radice cubica come potenza di
esponente $1/3$. Se vuoi una definizione generale di potenza $a$-esima per ogni $a$ reale
devi porre $x^a:=e^{a \ln(x)}$, che, come puoi notare, è definita solo per $x>0$.

E' vero che per $n$ intero dispari la funzione $x^n$ è invertibile su tutto $RR$ , ma questo
è un po' "accidentale". In effetti se pensi alla potenza di esponente $1/3$ dovresti avere
$x^{1/3}=x^{2/6}=(x^{1/6})^2$ che è definita solo per $x\geq0$.

Un modo di vedere la cosa è dire che $x^{1/3}$ e radice cubica di $x$ sono funzioni diverse
la prima essendo definita solo per $x\geq0$.