Chiarimento metodo di Cramer

[Studente Anonimo]

In un sistema di 2 equazioni e 2 incognite del tipo $\{(ax+by=c),(a'x+b'y=c'):}$ risolto con il metodo di Cramer su diversi libri ho visto che il sistema é:
- determinato se $\Delta!=0$ (fin qui tutto bene)
- indeterminato se $\Delta=0$ $^^$ $\Delta_x=0$ $^^$ $\Delta_y=0$ (anche qui nessun problema)
- impossibile se $\Delta=0$, $\Delta_x!=0$ $vv$ $\Delta_y!=0$. La stranezza è qui: perchè inserisce il simbolo $vv$ e non $^^$? Un sistema impossibile è del tipo $\{(ax+by=c),(ax+by=c'):}$ con $(c!=c')$ e risulta che $\Delta=0$ e sia $\Delta_x!=0$ che $\Delta_y!=0$. Qualche delucidazione?

[axpgn]

Perché ne basta uno, non è necessario indagare anche il secondo ...

[Gi81]

Prendi il sistema ${(0x+y=1),(0x+y=0):}$ (chiaramente impossibile)

Si ha $Delta= 0$, $Delta_x= 1$ , $Delta_y=0$

[Studente Anonimo]

Perfetto. Però intendevo a coefficienti tutti non nulli.

[@melia]

I coefficienti non sono tutti nulli, quelli della y valgono entrambi 1 e il termine noto della seconda equazione anche.
Gi8 ti ha fatto l'esempio più semplice. Ovviamente ce ne sono altri.

[Studente Anonimo]

Scusate forse non mi sono spiegato. Intendo questo sistema: $\{(ax+by=c),(ax+by=c'):}$
dove $a!=0$, $b!=0$, $c!=0$, $c'!=0$.

[@melia]

Quello che hai indicato è un caso particolare in cui i coefficienti della x e della y sono gli stessi in entrambe le equazioni, in questo caso particolare se $Delta_x != 0$ allora anche $Delta_y !=0$, ma solo in un caso particolare come questo, in cui imponi che $a=a' !=0$, $b=b' !=0$.
Questi dati ulteriori non erano presenti nella prima richiesta e non sono presenti in generale nella risoluzione di sistemi con il metodo di Cramer.

[axpgn]

Dato per ipotesi che sia $Delta=0$ per gli altri due abbiano quattro possibilità:

a) $Delta_x=0 ^^ Delta_y=0$
b) $Delta_x=0 ^^ Delta_y!=0$
c) $Delta_x!=0 ^^ Delta_y=0$
d) $Delta_x!=0 ^^ Delta_y!=0$

Se si verifica il caso a) sappiamo che il sistema è indeterminato, altrimenti è impossibile; questo secondo fatto però si può riassumere così $Delta_x!=0 vv Delta_y!=0$ (cioè casi b), c) e d) )

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"@melia":Quello che hai indicato è un caso particolare in cui i coefficienti della x e della y sono gli stessi in entrambe le equazioni, in questo caso particolare se $Delta_x != 0$ allora anche $Delta_y !=0$, ma solo in un caso particolare come questo, in cui imponi che $a=a' !=0$, $b=b' !=0$.
Questi dati ulteriori non erano presenti nella prima richiesta e non sono presenti in generale nella risoluzione di sistemi con il metodo di Cramer.

Si si effettivamente mi ero dimenticato di scriverlo.

[Gi81]

ricapitolando:
dato il generico sistema 2x2 ${(ax+by=c),(bara x +barby =barc):}$
definiamo $Delta:= a barb -bara b$; $Delta_x :=c barb -barc b$; $Delta_y := a barc -bara c $.

Se $a!=0$, $b!=0$ e $Delta=0$, allora $Delta_x=0 <=> Delta_y=0$

Infatti $c barb= b barc <=> ac barb = ab barc <=> c bara b = a b barc <=> c bara = a barc$

[vict85]

"anonymous_c5d2a1":In un sistema di 2 equazioni e 2 incognite del tipo $\{(ax+by=c),(a'x+b'y=c'):}$ risolto con il metodo di Cramer su diversi libri ho visto che il sistema é:
- determinato se $\Delta!=0$ (fin qui tutto bene)
- indeterminato se $\Delta=0$ $^^$ $\Delta_x=0$ $^^$ $\Delta_y=0$ (anche qui nessun problema)
- impossibile se $\Delta=0$, $\Delta_x!=0$ $vv$ $\Delta_y!=0$. La stranezza è qui: perchè inserisce il simbolo $vv$ e non $^^$? Un sistema impossibile è del tipo $\{(ax+by=c),(ax+by=c'):}$ con $(c!=c')$ e risulta che $\Delta=0$ e sia $\Delta_x!=0$ che $\Delta_y!=0$. Qualche delucidazione?

Un piccolo commento, essere indeterminato o impossibile è una caratteristica del sistema e non del metodo. Calcolare materialmente i determinanti nel caso di un sistema di dimensione 2 non è affatto necessario.

Il sistema è indeterminato se la seconda equazione ha esattamente le stesse soluzioni della prima. In sostanza se esiste un \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle a' = \alpha a \), \(\displaystyle b' = \alpha b \), \(\displaystyle c' = \alpha c \).

Un sistema è impossibile se la prima equazione non ha soluzioni in comune con la seconda. Il test proposto si riscrive materialmente nel seguente metodo pratico: è impossibile se esistono \(\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle \alpha\neq \beta \) e \(\displaystyle a' = \alpha a \), \(\displaystyle b' = \alpha b \), \(\displaystyle c' = \beta c \).

Insomma lo si vede anche senza fare alcun calcolo. Nota che i test proposti dal tuo professore hanno analoghi per sistemi ‘quadrati’ a più incognite, e in quel caso è più difficile distinguere i casi “a occhio nudo”.


Può essere utile notare che un sistema ha una interpretazione geometrica. Le soluzioni di una equazione del tipo \(ax+by = c\) sono geometricamente una retta in un piano e il sistema è l'intersezione delle due rette. Il sistema è impossibile se le due rette sono distinte e parallele, ed è indeterminato se sono coincidenti. Nel caso di 3 incognite si ha lo spazio tridimensionale, e le equazioni rappresentano piani.