Chiarimento funzione esponenziale e limite destro e sinistro
salve,
data la seguente funzione
$e^((x^2-x)/(x+1))$
ho calcolato l'asintoto verticale in questo modo:
$lim_(x->-1^-)e^((x^2-x)/(x+1))=e^(-oo)=0$
$lim_(x->-1^+)e^((x^2-x)/(x+1))=e^(+oo)=oo$
$x=-1$ asintoto verticale destro.
ora spiego il mio ragionamento tramite il quale ho trovato tale valore
e mi piacerebbe che mi correggeste nel caso di un ragionamento sbagliato...
quindi:
per $x->-1^-$ ottengo $e^((1+1)/(-1+1))=e^(2/0)=e^(oo)$
positivo o negativo?
per decidere questo
ho studiato il segno dell'esponente di e:
$(x^2-2)/(x+1)>0$
$\Rightarrow x(x-1)>0 => x<0; x>1$
$\Rightarrow x+1>0 x> -1$
cioè questo grafico:
guardando il grafico -1 da sinistra è negativo, quindi alla luce di ciò $e^(2/0)=e^(-oo)=0$
guardando il grafico -1 da destra è positivo, quindi alla luce di ciò $e^(2/0)=e^(+oo)=oo$
è giusto questo ragionamento?
sulla base di questo ragionamento ho trovato anche l'asintoto orizzontale:
$lim_(x->+oo)e^((x^2-x)/(x+1))$
$lim_(x->-oo)e^((x^2-x)/(x+1))$
prima di tutto ho calcolato il
$lim_(x->+oo)(x^2-x)/(x+1)$ dividendo per $x^2$ ottengo $1/0 = oo$
positivo o negativo?
guardando il grafico per $x->+oo$ il segno è POSITIVO quindi ottengo $e^(+oo)=oo$
quindi in questo caso non ci sono asintoti orizzontali
guardando il grafico per $x->-oo$ il segno è NEGATIVO quindi ottengo $e^(-oo)=0$
quindi in questo caso c'è asintoto orizzontali per $y=0$
questo mio ragionamento per capire meglio nel caso si incontri un valore a destra o sinistra è giusto?
in questo caso ho ragionato in modo corretto e dove ho sbagliato?
spero possiate spiegarmelo per bene.
mille grazie davvero.
data la seguente funzione
$e^((x^2-x)/(x+1))$
ho calcolato l'asintoto verticale in questo modo:
$lim_(x->-1^-)e^((x^2-x)/(x+1))=e^(-oo)=0$
$lim_(x->-1^+)e^((x^2-x)/(x+1))=e^(+oo)=oo$
$x=-1$ asintoto verticale destro.
ora spiego il mio ragionamento tramite il quale ho trovato tale valore
e mi piacerebbe che mi correggeste nel caso di un ragionamento sbagliato...
quindi:
per $x->-1^-$ ottengo $e^((1+1)/(-1+1))=e^(2/0)=e^(oo)$
positivo o negativo?
per decidere questo
ho studiato il segno dell'esponente di e:
$(x^2-2)/(x+1)>0$
$\Rightarrow x(x-1)>0 => x<0; x>1$
$\Rightarrow x+1>0 x> -1$
cioè questo grafico:
guardando il grafico -1 da sinistra è negativo, quindi alla luce di ciò $e^(2/0)=e^(-oo)=0$
guardando il grafico -1 da destra è positivo, quindi alla luce di ciò $e^(2/0)=e^(+oo)=oo$
è giusto questo ragionamento?
sulla base di questo ragionamento ho trovato anche l'asintoto orizzontale:
$lim_(x->+oo)e^((x^2-x)/(x+1))$
$lim_(x->-oo)e^((x^2-x)/(x+1))$
prima di tutto ho calcolato il
$lim_(x->+oo)(x^2-x)/(x+1)$ dividendo per $x^2$ ottengo $1/0 = oo$
positivo o negativo?
guardando il grafico per $x->+oo$ il segno è POSITIVO quindi ottengo $e^(+oo)=oo$
quindi in questo caso non ci sono asintoti orizzontali
guardando il grafico per $x->-oo$ il segno è NEGATIVO quindi ottengo $e^(-oo)=0$
quindi in questo caso c'è asintoto orizzontali per $y=0$
questo mio ragionamento per capire meglio nel caso si incontri un valore a destra o sinistra è giusto?
in questo caso ho ragionato in modo corretto e dove ho sbagliato?
spero possiate spiegarmelo per bene.
mille grazie davvero.
Risposte
Mi sembra tutto corretto, tranne quando scrivi $e^(+oo)=oo$ che dovrebbe essere $e^(+oo)=+oo$, l'infinito non è come i numeri che quando non metti il segno signifca +, lui ha bisogno del segno. 
mi è venuto questo dubbio perchè ogni volta che faccio il limite:
$lim_(x->-oo)e^((x^2-x)/(x+1))$
tramite derive o altro programma mi viene sempre infinito
traendomi in inganno
mentre facendo i miei ragionamenti esce zero.
A quanto pare il mio ragionamento è quello giusto allora.....
$lim_(x->-oo)e^((x^2-x)/(x+1))$
tramite derive o altro programma mi viene sempre infinito
traendomi in inganno
mentre facendo i miei ragionamenti esce zero.
A quanto pare il mio ragionamento è quello giusto allora.....
ma è corretto dire il limite per $x->-oo ^-$ o $x->-oo ^+$??
Con Geogebra si vede chiaramente che viene 0
"bla99hf":
ma è corretto dire il limite per $x->-oo ^-$ o $x->-oo ^+$??
no, in realtà è il contrario: per $x -> -oo$ il limite è un limite destro, mentre è un limite sinistro per $x->+oo$.
quindi in generale ha più senso parlare di limite tendente a $+oo$ oppure $-oo$.
non ha senso parlare di destro e sinitro parlando di un limite che tende a infinito?
in definitiva il destro e sinitro vale più per valori numerici che per l'infinito?
non ha senso parlare di destro e sinitro parlando di un limite che tende a infinito?
in definitiva il destro e sinitro vale più per valori numerici che per l'infinito?
"limite infinito" ha un altro significato, perché si riferisce al valore del limite, non al valore a cui tende la variabile.
se parli di "infinito" (senza segno) dovresti tener conto di questioni topologiche, ma comunque considera che limite infinito (senza segno) significa che una cosa diverge, ma potrebbe tendere a $+oo$ o a $-oo$ o potrebbe anche non esistere il limite (anzi di solito è così), ma, come ti ha detto @amelia, non significa +infinito necessariamente.
ad esempio, si usa dire che $lim_(x->1)\(x^2+3x)/(x^2-1)$ è "infinito", per dire che si tratta di un punto "di infinito", in cui trovi un asintoto verticale, ma in realtà il limite non esiste, perché vanno distinti i limiti destro e sinistro che non hanno lo stesso limite: $lim_(x->1^(+-))\(x^2+3x)/(x^2-1)=+-oo$
si può parlare di limite per $x->oo$, quando esiste ed è lo stesso sia per $x->+oo$ sia per $x->-oo$, ma, ripeto, sono coinvolte questioni topologiche che di solito non si considerano nemmeno ad Analisi I, per cui è meglio distinguere. si può scrivere, con la stessa funzione, $lim_(x->+-oo)\(x^2+3x)/(x^2-1)=1$.
limite per $x->+oo$ significa che stai considerando la semiretta positiva che è un intorno sinistro di $+oo$: d'altronde, come potresti considerare valori a destra, cioè più grandi, di più infinito? analogamente per $x->-oo$ consideri la semiretta negativa che è un intorno destro di meno infinito.
spero di aver risposto, e di essere stata chiara. ciao.
se parli di "infinito" (senza segno) dovresti tener conto di questioni topologiche, ma comunque considera che limite infinito (senza segno) significa che una cosa diverge, ma potrebbe tendere a $+oo$ o a $-oo$ o potrebbe anche non esistere il limite (anzi di solito è così), ma, come ti ha detto @amelia, non significa +infinito necessariamente.
ad esempio, si usa dire che $lim_(x->1)\(x^2+3x)/(x^2-1)$ è "infinito", per dire che si tratta di un punto "di infinito", in cui trovi un asintoto verticale, ma in realtà il limite non esiste, perché vanno distinti i limiti destro e sinistro che non hanno lo stesso limite: $lim_(x->1^(+-))\(x^2+3x)/(x^2-1)=+-oo$
si può parlare di limite per $x->oo$, quando esiste ed è lo stesso sia per $x->+oo$ sia per $x->-oo$, ma, ripeto, sono coinvolte questioni topologiche che di solito non si considerano nemmeno ad Analisi I, per cui è meglio distinguere. si può scrivere, con la stessa funzione, $lim_(x->+-oo)\(x^2+3x)/(x^2-1)=1$.
limite per $x->+oo$ significa che stai considerando la semiretta positiva che è un intorno sinistro di $+oo$: d'altronde, come potresti considerare valori a destra, cioè più grandi, di più infinito? analogamente per $x->-oo$ consideri la semiretta negativa che è un intorno destro di meno infinito.
spero di aver risposto, e di essere stata chiara. ciao.
"@melia":
Con Geogebra si vede chiaramente che viene 0
Anche tracciando il grafico con Matlab.
Inoltre anche calcolando il limite con Mathematica viene 0.
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