Chiarimenti sui radicali semplificati e valore assoluto

[HeadTrip1]

salve a tutti

sto studiando le semplificazioni dei radicali,ed ho un po' di confusione riguardo ai radicali ridotti ai minimi termini a cui bisogna indicare il valore assoluto

ho studiato sul libro che uso ed ho guardato la videolezione qui su matematicamente che mi e' stata molto utile,pero' anche con la videolezione trovo alcune incongruenze e spesso non riesco a decidere se e' il caso o meno di indicare il valore assoluto....a volte lo metto quando non bisogna metterlo e viceversa a volte non lo metto quando e' necessario indicarlo:

posto qualche esempio per chiarire in cosa i miei dubbi di fondano

dunque innanzitutto riguardo la PRIMA PROPRIETA' fondamentale,quando abbiamo un radicale di questo tipo:

$(root(n)(a))^n$

in questo caso ,semplificando la radice ennesima con $a$ si ottiene $a$

ora qui mi dice,e qui comincio a fare confusione,che se $n$ pari $a>=0$ , se $n$ dispari $a in RR $

quindi in tutti i casi che l'indice del radicale e' dispari,per cui 3,5,7 ecc $a$ dev'essere un numero reale,per cui con un esempio numerico

se $(root(3)(5))^3$ = $5$

se $(root(3)(-5))^3$ = $-5$

se invece abbiamo l indice del radicale pari, $a$ non puo' essere un numero negativo,per cui ha senso un cosa del tipo

se $(root(2)(5))^2$ = $5$

ma non ha senso quest'altra $(root(2)(-5))^2$ che dite ci sono?


veniamo alla SECONDA PROPRIETA'

$root(n)(a^n)$

qui abbiamo che se $n$ dell'indice e' dispari $a in RR$

per cui con un esempio numerico avremo che una cosa del genere: $root(3)((a)^6)$ = $a^2$

e se $root(3)((-a)^6)$ = $(-a)^2$

se $n$ dell'indice pari $a>=0$

$root(6)((a)^6)$ avremo = $a$

oppure $root(3)((-a)^6)$ questa verrebbe $-a$ ma non dovrebbe aver senso? qui mi perdo un po'....se mi potete dare una spiegazione perche' in questi due casi credo di far confusione,difatti poi piu' tardi non riesco a decidere se mettere il valore assoluto oppure no



dunque faccio un po' di esempi numerici che non mi sono molto chiari,in modo da semplificare i miei dubbi e magari capite dove mi incricco


dunque:

uno dei primi esempi ,esercizi svolti e' questo

$sqrt(a^2)$ ora qui avrei
$a$ se $a>=0$
$-a$ se a<0$
per cui $|a|$



in questa: $root(4)(b^2)$ dopo le opportune semplificazioni potrei notare che $b$ potrebbe essere sia positivo che negativo,per cui di nuovo otterrei $sqrt(|b|)$

pero' per quale motivo? perche' l indice del radicale era pari? fosse stato $root(3)(b^3)$ non sarebbe stata la stessa cosa? per quale motivo?



ora qui $root(4)(x^8y^4)$ ,dopo le opportune semplificazioni arriverei ad avere

$x^2y$ per cui dovrei scrivere $x^2|y|$ perche' $y$ potrebbe anche essere negativo $x^2(-y)$

ma se fosse stato $root(3)(x^6y^3)$ non otterrei sempre il medesimo risultato? e cioe' $x^2|y|$ perche'?



ora qui altri esempi che non hanno come risultato il modulo

$root(3)(x^3y^6)$ dopo le semplificazioni otterremmo $xy^2$ ma perche' non $|x|y^2$ ??? perche' l indice del radicale e' dispari?


allora perche' in questo esempio

$root(6)(a^3b^3)$ dopo le opportune semplificazioni otteniamo $sqrt(ab)$ e non invece $sqrt(|a||b|)$ ???

andando avanti sempre con gli stessi dubbi:

$root(6)(x^2y^4)$ dopo le semplificazioni avremo $root(3)(|x|y^2)$ ma l'indice del radicando e' dispari


andando avanti anche altri esercizi mi danno gli stessi problemi,alcuni altri esercizi,son piu' complessi,piu' articolati ma il problema e' lo stessso


grazie mille a tutti

[HeadTrip1]

niente?

[Nicole931]

allora, cerco di chiarirti un po' le idee
quando abbiamo la radice ad indice pari di un numero, fermo restando che il radicando non può mai essere negativo (nell'insieme dei numeri reali non esiste la radice quadrata di un numero negativo) , si assume come condizione iniziale che anche la radice debba essere sempre positiva, per non creare confusione . Es. : $sqrt4 =2$ e non $sqrt4 = +-2$ (non sapremmo mai quale segno scegliere)

questo problema ovviamente non si pone con le radici ad indice dispari

ora veniamo ai tuoi esempi

$root(3) (a^6) = a^2$ : non ci sono problemi : $a^2$ è sempre positivo
anche per $root(3) ((-a)^6) = (-a)^2$ non ci sono problemi, poichè $(-a)^2 = a^2$
se invece fosse $root(3) (-a^6) $ questa sarebbe $= -a^2$, ma anche qui è chiaramente possibile, in quanto è una radice ad indice dispari, e quindi può tranquillamente essere sia positiva che negativa

ora le radici ad indice pari:
$root(4)(b^2 ) = sqrt |b|$ perchè se b fosse negativo la radice quadrata non esisterebbe, quindi sei costretto a mettere il valore assoluto

per gli esempi con le radici ad indice dispari , spero che ormai tu abbia capito che, essendo l'operazione sempre possibile, non hai mai bisogno di mettere il valore assoluto

$root(6)(a^3b^3) = sqrt(ab)$ : certo che non è necessario il valore assoluto, perchè $a^3b^3$ devono essere entrambi positivi, altrimenti il radicale non esisterebbe

a questo proposito, non mi sembra che tu abbia preso in considerazione la premessa fondamentale, e cioè che con le radici ad indice pari, prima di procedere alle varie operazioni bisogna mettere le C.E., che consistono nel porre il radicando $>=0$ (cosa non necessaria se gli esponenti sono pari)

ultimo caso che tu presenti : $root(6) (x^2y^4)$ : è necessario il valore assoluto per $x$, poichè l'indice iniziale era pari ( è quello che conta)

per concludere, Antonio Bernardo mi ha appena inviato il file completo sui radicali, che verrà poi messo nel Manuale

se ti può interessare fammelo sapere, che te lo invio

[HeadTrip1]

ok grazie per la spiegazione

il file completo sui radicali certo che mi interessa...sto studiando quelli e mi sarebbe sicuramente d'aiuto

puoi mandarmelo qui h34d7r1p[at]Gmail.com

grazie mille