Chiarimenti su esercizi d'introduzione alla fisica
Salve. A scuola abbiamo cominciato fisica, ma devo chiedere alcuni chiarimenti.
Un esercizio chiedeva di dire qual era il numero delle cifre significative nel valore espresso in kg $20,500$. Io ho messo 3 ($20,5=20,500$), ma il mio libro dice che le significative sono ben 5! Tutte, cioè. Perché?
Un esercizio chiedeva di dire qual era il numero delle cifre significative nel valore espresso in kg $20,500$. Io ho messo 3 ($20,5=20,500$), ma il mio libro dice che le significative sono ben 5! Tutte, cioè. Perché?
Risposte
In fisica, gli zeri finali scritti dopo la virgola sono cifre significative. Scrivere $20,5$ significa che sappiamo che ci sono 5 decimi e non conosciamo i centesimi; scrivere $20,500$ significa invece che sappiamo anche che ci sono zero centesimi e zero millesimi e che non conosciamo i decimillesimi. Una precisazione: dicendo "conosciamo" si intende che può esserci qualche dubbio o arrotondamento sull'ultima cifra scritta, ma non si sa se in più o in meno.
Ma allora in fisica va bene anche scrivere il numero 50,432000000000000000000000000000000000000000000 ? 
Non capisco che senso abbia. Se io dico 20.5, significa che ci sono 5 decimi, basta. In caso contrario, se ci fossero stati cioè dei centesimi, millesimi, decimillesimi, centimillesi, avrei scritto 20.54321
Non capisco che senso abbia. Se io dico 20.5, significa che ci sono 5 decimi, basta. In caso contrario, se ci fossero stati cioè dei centesimi, millesimi, decimillesimi, centimillesi, avrei scritto 20.54321
E chi ti ha detto che i centesimi siano 4 e i millesimi 3? Potresti aver fatto una misura accurata, constatando che entrambi sono 0. Scrivere lo 0 significa proprio "l'ho misurato, e affermo che questa cifra è 0"; lasciare in bianco significa invece "non l'ho misurato in modo preciso". Quanto al numero che scrivi all'inizio, in teoria va bene; in pratica, ritengo decisamente impossibile una misura così precisa.
Devi tener presente che la matematica usa numeri ritenuti noti in modo esatto: per esempio, se dico che un segmento è lungo 7,3 cm intendo che non ci sono decimillimetri né loro sottomultipli. La fisica usa invece risultati di misure, quindi se il mio metro ha solo la suddivisione in millimetri non so se i decimillimetri ci sono o no e lascio in bianco. Se invece usassi uno strumento molto preciso e trovassi che i decimillimetri sono proprio 0, allora scriverei lo 0.
Non rientrano in questa regola i numeri che non indicano misure ma derivano da considerazioni teoriche: per esempio, il perimetro di un triangolo equilatero è dato da lato*3, dove il 3 non è il risultato di una misura ed è noto con infinite cifre significative.
Devi tener presente che la matematica usa numeri ritenuti noti in modo esatto: per esempio, se dico che un segmento è lungo 7,3 cm intendo che non ci sono decimillimetri né loro sottomultipli. La fisica usa invece risultati di misure, quindi se il mio metro ha solo la suddivisione in millimetri non so se i decimillimetri ci sono o no e lascio in bianco. Se invece usassi uno strumento molto preciso e trovassi che i decimillimetri sono proprio 0, allora scriverei lo 0.
Non rientrano in questa regola i numeri che non indicano misure ma derivano da considerazioni teoriche: per esempio, il perimetro di un triangolo equilatero è dato da lato*3, dove il 3 non è il risultato di una misura ed è noto con infinite cifre significative.
"giammaria":
E chi ti ha detto che i centesimi siano 4 e i millesimi 3? Potresti aver fatto una misura accurata, constatando che entrambi sono 0. Scrivere lo 0 significa proprio "l'ho misurato, e affermo che questa cifra è 0"; lasciare in bianco significa invece "non l'ho misurato in modo preciso". Quanto al numero che scrivi all'inizio, in teoria va bene; in pratica, ritengo decisamente impossibile una misura così precisa.
Devi tener presente che la matematica usa numeri ritenuti noti in modo esatto: per esempio, se dico che un segmento è lungo 7,3 cm intendo che non ci sono decimillimetri né loro sottomultipli. La fisica usa invece risultati di misure, quindi se il mio metro ha solo la suddivisione in millimetri non so se i decimillimetri ci sono o no e lascio in bianco. Se invece usassi uno strumento molto preciso e trovassi che i decimillimetri sono proprio 0, allora scriverei lo 0.
Non rientrano in questa regola i numeri che non indicano misure ma derivano da considerazioni teoriche: per esempio, il perimetro di un triangolo equilatero è dato da lato*3, dove il 3 non è il risultato di una misura ed è noto con infinite cifre significative.
Ora ho capito! La matematica è in pratica uno strumento molto più preciso della fisica, la quale deriva da misure errate. Perfetto, grazie!
Ho un'altra questione ora sulla quale riflettere. Un altro esercizio di fisica dice che:
Le misure di una scatola sono $(5,6+-0,1)cm, (8,0+-0,1)cm, (6,2+-0,1)cm$. Devo calcolare il volume, ma con le misure messe così (cioè con la misura attendibile e l'errore assoluto), non riesco a calcolarlo. Il libro mette come risultato $(2,8+-0,1)*10^2 cm^3$, come ha fatto?
calcolando il volume con il prodotto delle misure attendibili si ottiene $277\ \ cm^3$ adesso bisogna calcolare l'errore: calcola il prodotto come se fosse $(a+e_1)*(b+e_2)*(c+e_3)$ sommi tra loro tutti i termini che contengono almeno un fattore $e$, devi ottenere circa $13$, questo mi dice che nel calcolo del volume il numero $277$ ha solo la prima cifra esatta, mentre l'errore compare già nelle decine, quindi le unità non hanno alcun senso se già le decine sono portatrici di errore. Arrotonda il tutto e viene $280+-10$, che è il risultato del libro
Ho capito, grazie dell'aiuto.
Ora siccome ho da fare delle richieste su problemi più di fisica che di matematica, posso postare nella sezione di Fisica del forum? O continuo a postare nella Secondario di secondo grado?
Ora siccome ho da fare delle richieste su problemi più di fisica che di matematica, posso postare nella sezione di Fisica del forum? O continuo a postare nella Secondario di secondo grado?
Puoi postare in Fisica
"@melia":
calcolando il volume con il prodotto delle misure attendibili si ottiene $277\ \ cm^3$ adesso bisogna calcolare l'errore: calcola il prodotto come se fosse $(a+e_1)*(b+e_2)*(c+e_3)$ sommi tra loro tutti i termini che contengono almeno un fattore $e$, devi ottenere circa $13$, questo mi dice che nel calcolo del volume il numero $277$ ha solo la prima cifra esatta, mentre l'errore compare già nelle decine, quindi le unità non hanno alcun senso se già le decine sono portatrici di errore. Arrotonda il tutto e viene $280+-10$, che è il risultato del libro
$280+-10$ è come dire $(2,8+-0,1)*10^2$ ? Nella prima forma le cifre significative sono tante quante nella seconda, cioè due?
Allora lo zero di 280 non è cifra significativa mentre invece il 2 ,terza cifra di 282, lo è?
Ma $2,80*10^2$ ha tre cifre significative o 2? E' errato scrivere $2,80*10^2$ = 280, invece di $2,8*10^2$ = 280, visto che la notazione scientifica mostra sempre nel primo fattore solo cifre significative?
Mi sembra di aver capito comunque due cose 1) che uno o più zeri finali in un numero intero non sono cifre significative 2) che uno o più zeri finali , nella notazione scientifica , sono ammessi e sono cifre significative solo se la misura non è un numero intero. Chiedo se ho ragione.
Lo zero non è una cifra significativa perché l'errore è già nella seconda cifra, cioè nell'8.
Amelia ha ragione se si pensa al problema precedente, ma mi pare di capire che tu intendessi ampliare la domanda; per evitare dubbi, uso altri numeri.
Confrontiamo fra loro questi calcoli:
1) $3,7*10^3=3700$: poiché $3,7$ ha solo due cifre significative, anche $3700$ ne ha due e gli zeri finali non sono significativi.
2) $3,70*10^3=3700$: poiché $3,70$ ha tre cifre significative, è significativo il primo zero di $3700$ ma non il secondo.
E allora? Per i numeri scritti senza virgola, la regola è questa: "in generale non sono significativi gli zeri finali messi solo per indicare la posizione in cui ci sarebbe la virgola, ma lo sono quelli corrispondenti a dati effettivamente noti; per distinguere, su questi ultimi si appone un qualche segno apposito". Naturalmente una simile scrittura risulta scomoda da realizzare nella stampa dei libri o al computer, e questo è uno dei motivi per si privilegia la notazione scientifica, in cui la virgola è presente praticamente sempre. Nell'uso pratico (e quindi negli esercizi) si suppone di essere sempre nel caso generale e gli zeri finali non sono significativi.
Confrontiamo fra loro questi calcoli:
1) $3,7*10^3=3700$: poiché $3,7$ ha solo due cifre significative, anche $3700$ ne ha due e gli zeri finali non sono significativi.
2) $3,70*10^3=3700$: poiché $3,70$ ha tre cifre significative, è significativo il primo zero di $3700$ ma non il secondo.
E allora? Per i numeri scritti senza virgola, la regola è questa: "in generale non sono significativi gli zeri finali messi solo per indicare la posizione in cui ci sarebbe la virgola, ma lo sono quelli corrispondenti a dati effettivamente noti; per distinguere, su questi ultimi si appone un qualche segno apposito". Naturalmente una simile scrittura risulta scomoda da realizzare nella stampa dei libri o al computer, e questo è uno dei motivi per si privilegia la notazione scientifica, in cui la virgola è presente praticamente sempre. Nell'uso pratico (e quindi negli esercizi) si suppone di essere sempre nel caso generale e gli zeri finali non sono significativi.
Questo è interessante. Non sapevo che si apponesse un certo segno per segnare le cifre significative.
Comunque, giammaria, non ho capito un passaggio del tuo intervento:
Tu dici in sostanza che $3,7*10^3=3700$, ha solo due cifre significative: le prime. E che quindi gli zeri sono insignificativi e si possono eliminare, quindi: vuoi dire che $3700=37$? Non capisco!
Comunque, giammaria, non ho capito un passaggio del tuo intervento:
Tu dici in sostanza che $3,7*10^3=3700$, ha solo due cifre significative: le prime. E che quindi gli zeri sono insignificativi e si possono eliminare, quindi: vuoi dire che $3700=37$? Non capisco!
No, quegli zeri non si possono eliminare perché servono per dire che 7 è la cifra delle centinaia. Non sono cifre significative perché in realtà non sappiamo quante decine e unità ci sono.
Non ho parlato di "un certo segno" ma di "un qualche segno": non mi risulta che ci sia un segno codificato, e credo che ognuno possa inventarselo a piacimento.
Non ho parlato di "un certo segno" ma di "un qualche segno": non mi risulta che ci sia un segno codificato, e credo che ognuno possa inventarselo a piacimento.
Mmm, non capisco. Come non sappiamo quante decine e unità ci sono? 3700 unità e 370 decine, no?
Intendevo dire "non sappiamo qual'è la cifra delle decine né quella delle unità". In altre parole, il numero potrebbe anche essere 3728 o 3666: entrambi si arrotondano in 3700, se conosciamo due sole cifre significative.
Sì ma se Pinco dice 3700, perché Pallino deve pensare che non sia una cosa precisa, certa?
No, niente, mi sa che non capisco. Meglio lasciar stare forse!
No, niente, mi sa che non capisco. Meglio lasciar stare forse!
"@melia":
Lo zero non è una cifra significativa perché l'errore è già nella seconda cifra, cioè nell'8.
Sì, lo so.
Ma quello che vorrei dire necessita di una trattazione tanto lunga quanto marginale (ma interessante) , senza nulla togliere all'esame di teoria e pratica delle misure, che forse avrei fatto bene a fare 35 anni fa. Resto comunque dell'idea che le misure sperimentali è sempre meglio metterle in notazione scientifica, in cui sono sempre palesi le cifre significative.
velocità della luce $3*10^8 $m/s una cifra significativa; in $300 000 000$ invece tutti gli zeri non sono significativi!!
$2,99792458*10^8$ 9 cifre significative, ma pure in$ 299 792 458$
Ho letto questo su Wikipedia:
"La cifra più significativa è sempre la prima da sinistra che sia diversa da zero;
La cifra meno significativa
in un valore intero, è la prima da destra che sia diversa da zero,
in un valore con una parte frazionaria, è l'ultima cifra a destra, anche se si tratta di uno zero;
Le cifre significative sono tutte quelle comprese tra la più significativa e la meno significativa, queste incluse". ( Boh!)
Secondo tale criterio in 280, 8 è significativa. E' meglio scrivere $2,8*10^2$? E' pur vero però che $280+-10$ dice che è incerto pure 8. E allora obbilghiamo sempre a scrivere le misure con l'errore assoluto .
Cosa concludo ? L'argomento è marginale, ci sono troppe convenzioni e troppe scelte arbitrarie che dipendono, ahimè anche dai libri adottati ed è per questo che talvolta non ci si capisce. !!!!!!! . Non vale la pena discuterne troppo in matematica e neppure in fisica. Il nostro buon senso può bastare, se esiste ancora il buon senso , naturalmente.
"Tacito":Pinco si è espresso in modo poco preciso; avrebbe fatto meglio a dire "circa 3700" e, per una precisione ancora maggiore, poteva aggiungere "arrotondando alle centinaia". Nei numeri interi, si pensa sempre che gli zeri finali siano frutto di un arrotondamento e per questo non significativi (a parte gli zeri con segno di cui abbiamo parlato in passato).
Sì ma se Pinco dice 3700, perché Pallino deve pensare che non sia una cosa precisa, certa?
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