Check risultato max e min hessiano
Premetto che l’esercizio risulta corretto. Il mio quesito è perché non riesco a trovare il punto $(0,0)$ con il metodo sottostante, mentre invece con un altro metodo mi risulta.
$z=2xy^2+x^2y-2xy-3$
Calcolo le derivate parziali prime
$z’_x=2y^2+2xy-2y$
$z’_y=4xy+x^2-2x$
Metto a sistema e uguaglio a zero entrambe
$ { (2y^2+2xy-2y =0 ),( 4xy+x^2-2x =0 ):} $
in $z’_x$ isolo $2xy$ da cui deriva che $x=1-y$
sostituisco in $z’_y$ e ottengo $y=1/3$ e $y=1$
sostituisco in $x=1-y$ i valori appena ottenuti e ottengo $x=2/3$ e $x=0$
Torno su $z’_y$, isolo $4xy$ e ottengo che $y=1/2-1/4x$
Sostituisco in $z’_x$ e ottengo $x=2/3$ e $x=2$
Sostituisco i valori appena trovati in $y=1/2-1/4x$ da cui ottengo:
Con $x=2/3$ ho $y=1/3$, e questo è un doppione
Con $x=2$ ho $y=0$ e questo è nuovo
Per ora ho trovato:
$A(2/3;1/3)$
$B(0;1)$
$C(2,0)$
Mancherebbe il punto $D(0;0)$ ma non compare risolvendo il sistema
Se invece d isolare in $z’_x$ la parte $2xy$ avessi raccolto a fattor comune avrei ottenuto $2y(y+x-1)=0$ da cui avrei trovato due soluzioni da sostituire:
$2y=0$ e $y=-x+1$
Dal primo ricavo $y=0$
Sostituendo ad esempio $y=0$ in $z’_y$ risulta
$x^2-2x=0$ da cui $x(x-2)=0$ da cui ottengo tra gli altri anche il famigerato punto $(0,0)$
Perché con il primo metodo non mi compare fuori $(0,0)$????
Grazie mille
$z=2xy^2+x^2y-2xy-3$
Calcolo le derivate parziali prime
$z’_x=2y^2+2xy-2y$
$z’_y=4xy+x^2-2x$
Metto a sistema e uguaglio a zero entrambe
$ { (2y^2+2xy-2y =0 ),( 4xy+x^2-2x =0 ):} $
in $z’_x$ isolo $2xy$ da cui deriva che $x=1-y$
sostituisco in $z’_y$ e ottengo $y=1/3$ e $y=1$
sostituisco in $x=1-y$ i valori appena ottenuti e ottengo $x=2/3$ e $x=0$
Torno su $z’_y$, isolo $4xy$ e ottengo che $y=1/2-1/4x$
Sostituisco in $z’_x$ e ottengo $x=2/3$ e $x=2$
Sostituisco i valori appena trovati in $y=1/2-1/4x$ da cui ottengo:
Con $x=2/3$ ho $y=1/3$, e questo è un doppione
Con $x=2$ ho $y=0$ e questo è nuovo
Per ora ho trovato:
$A(2/3;1/3)$
$B(0;1)$
$C(2,0)$
Mancherebbe il punto $D(0;0)$ ma non compare risolvendo il sistema
Se invece d isolare in $z’_x$ la parte $2xy$ avessi raccolto a fattor comune avrei ottenuto $2y(y+x-1)=0$ da cui avrei trovato due soluzioni da sostituire:
$2y=0$ e $y=-x+1$
Dal primo ricavo $y=0$
Sostituendo ad esempio $y=0$ in $z’_y$ risulta
$x^2-2x=0$ da cui $x(x-2)=0$ da cui ottengo tra gli altri anche il famigerato punto $(0,0)$
Perché con il primo metodo non mi compare fuori $(0,0)$????
Grazie mille
Risposte
Ciaooooooooo!
Domanda: hai tenuto conto che sia la x che la y possono essere zero?
Domanda: hai tenuto conto che sia la x che la y possono essere zero?
"DavidGnomo":
Ciaooooooooo!
Domanda: hai tenuto conto che sia la x che la y possono essere zero?
Ciao David,allora....a occhio si vede che $x=0$ e $y=0$ sono soluzioni che azzerano le derivate prime parziali. Ma giustamente mi piacerebbe che una volta impostato e risolto questo enorme sistema, ciò che ne derivi siano i punti definitivi da controllare con l'hessiano. Mentre così, in aggiunta a tantissimi calcoli, devo dire allo studente di fare un ragionamento aggiuntivo. E la cosa potrebbe creare confusione
Quando raccogli $2y$ nella prima, non puoi dividere per $2y$ se $y=0$. Quello che devi fare è annullare ciascuno dei due fattori. Stessa cosa ogni volta che hai un prodotto uguale a zero.
"Martino":
Quando raccogli $2y$ nella prima, non puoi dividere per $2y$ se $y=0$. Quello che devi fare è annullare ciascuno dei due fattori. Stessa cosa ogni volta che hai un prodotto uguale a zero.
Si martino, infatti quando raccolgo mi viene naturale annullare i due fattori della moltiplicazione, ma svolgendo il sistema con il primo metodo senza raccogliere, il punto $(0,0)$ non compare in automatico nelle soluzioni
"Marco1005":Questo è sbagliato, stai dividendo per $y$. Non puoi dividere per $y$.
in $z’_x$ isolo $2xy$ da cui deriva che $x=1-y$
O meglio, puoi dividere per $y$ se $y ne 0$, altrimenti non puoi.
Martino se io nel primo caso non raccolgo e svolgo il sistema, quindi il problema della divisione per zero non si pone, ma il punto $(0,0)$ non mi salta fuori se non per ragionamento. Non so se riesco a spigarmi
"Marco1005":
Martino se io nel primo caso non raccolgo e svolgo il sistema, quindi il problema della divisione per zero non si pone, ma il punto $(0,0)$ non mi salta fuori se non per ragionamento. Non so se riesco a spigarmi
Ciaoo.
Se posso, quando passi da $2xy = 2y-2y^2$ a $x=y(1-y)/y$ non puoi semplificare e basta, devi tener conto anche del caso in cui $y=0$. Ti torna?
"DavidGnomo":
Ciaoo.
Se posso, quando passi da $2xy = 2y-2y^2$ a $x=y(1-y)/y$ non puoi semplificare e basta, devi tener conto anche del caso in cui $y=0$. Ti torna?
Si si mi torna david ma allora come faccio a far saltar fuori il punto $(0,0)$ dal sistema?
Vediamo.
Una volta che hai fatto i calcoli sulla prima derivata parziale otterrai:
- se $y = 0$ avrai $0 = 0$ quindi ...
- se $y \ne 0$ avrai $x = 1 - y$
Ora, tenendo conto di questi 2 casi, potrai fare le sostituzioni nella seconda derivata parziale.
Cosa succede se sostituisci $y = 0$? e con $y \ne 0$?
Una volta che hai fatto i calcoli sulla prima derivata parziale otterrai:
- se $y = 0$ avrai $0 = 0$ quindi ...
- se $y \ne 0$ avrai $x = 1 - y$
Ora, tenendo conto di questi 2 casi, potrai fare le sostituzioni nella seconda derivata parziale.
Cosa succede se sostituisci $y = 0$? e con $y \ne 0$?
"DavidGnomo":
Vediamo.
Una volta che hai fatto i calcoli sulla prima derivata parziale otterrai:
- se $y = 0$ avrai $0 = 0$ quindi ...
- se $y \ne 0$ avrai $x = 1 - y$
Ora, tenendo conto di questi 2 casi, potrai fare le sostituzioni nella seconda derivata parziale.
Cosa succede se sostituisci $y = 0$? e con $y \ne 0$?
È questo il punto; se io divido entrambi i membri $2y$ allora non posso ipotizzare $y=0$ mentre se noto che tra di loro essendoci tutte moltiplicazioni dovessi sostituire $y=0$ otterrei un’identità.
Nella seconda derivata prima se sostituisco $y=0$ ottengo due soluzioni $x=0$ e e$x=2$
Non so se riesco a farmi capire. Isolando $2xy$ devo poi dividere e devo escludere $y=0$, mentre se raccolgo mi viene naturalmente tra le soluzioni $y=0$
"Marco1005":
...
È questo il punto; se io divido entrambi i membri $2y$ allora non posso ipotizzare $y=0$ mentre se noto che tra di loro essendoci tutte moltiplicazioni dovessi sostituire $y=0$ otterrei un’identità.
...
Ciaooooooooo. Rieccomi.
La domanda a questo punto è: se non puoi ipotizzare $y=0$ per poter effettuare la semplificazione, la puoi escludere a priori? Direi di no perchè altrimenti ti mancherebbe un caso da applicare alla seconda derivata.
Tenendo conto solo di quando $x = 1 - y$ stai dando per scontato che la $y$ non sarà mai uguale a $0$ e di conseguenza nel sostituire alla seconda derivata ti mancherebbe qualcosa.
E' come se, poichè la temperatura del corpo umano normalmente è sui $36°$ i termometri fossero tarati solo dal 36 in su (perdonatemi il paragone ahahah).
Se hai dubbi chiedi pure
è che non raccogliendo sembra quasi che quel caso non compaia. Mentre se raccolgo è lampante che risulta ta le soluzioni $y=0$.
Diciamo che a occhio se posso sostituire $x=0$ o $y=0$ senza incorrere in problemi del dominio sarebbe sempre da provare come punto
Diciamo che a occhio se posso sostituire $x=0$ o $y=0$ senza incorrere in problemi del dominio sarebbe sempre da provare come punto
"Marco1005":
Metto a sistema e uguaglio a zero entrambe
$ { (2y^2+2xy-2y =0 ),( 4xy+x^2-2x =0 ):} $
in $z’_x$ isolo $2xy$ da cui deriva che $x=1-y$
Marco, ti ripeto che questa cosa che scrivi è sbagliata. Dalla prima equazione non puoi dedurre che $x=1-y$.
Infatti, raccogliendo $2y$ nella prima equazione, risulta $2y (y+x-1) = 0$, e qui NON puoi dividere entrambi i membri per $2y$ (cioè "mandare via $2y$") ottenendo $y+x-1=0$ (che è quello che fai tu, a quanto capisco) perché appunto esiste un caso in cui non puoi dividere per $y$. E qual è questo caso? E' il caso in cui $y=0$.
Cosa puoi fare invece? Puoi distinguere due casi.
Caso 1. $y=0$. In questo caso, sostituendo nella seconda equazione, ottieni $x(x-2)=0$ e quindi $x=0$ oppure $x=2$, questo dà le due soluzioni $(0,0)$ e $(2,0)$.
Caso 2. $y ne 0$. In questo caso puoi prendere la prima equazione, raccogliere $2y$ e dividere entrambi i membri per $2y$ ottenendo $y+x-1=0$, da cui $x=1-y$. Adesso sostituisci nella seconda equazione, eccetera eccetera.
Osserva che nel caso 2 possiamo arrivare a $x=1-y$, ma NON nel caso 1.
Questa divisione in due casi non è facoltativa, ed è equivalente alla discussione dell'annullamento del prodotto.
Se hai un'equazione che puoi scrivere in termini dell'annullarsi di un prodotto, come $AB=0$, la puoi risolvere in due modi equivalenti.
Primo modo. Discuti l'annullarsi di ciascuno dei fattori, cioè "$A=0$" e "$B=0$". Ognuno di questi due casi ti darà delle soluzioni che poi unirai alla fine.
Secondo modo. Dici "se $A ne 0$ allora posso dividere per $A$ entrambi i membri ottenendo $B=0$", e da qui il caso $B=0$ ti darà delle soluzioni. Ma non te le darà tutte, perché qui hai fatto l'ipotesi $A ne 0$. Quindi ora devi dire "Se invece $A=0$ allora ..." e questo caso ti darà le altre soluzioni.
Non so se mi sono spiegato, ma dubito di riuscire a spiegarmi meglio di così
"Martino":
[quote="Marco1005"]Metto a sistema e uguaglio a zero entrambe
$ { (2y^2+2xy-2y =0 ),( 4xy+x^2-2x =0 ):} $
in $z’_x$ isolo $2xy$ da cui deriva che $x=1-y$
Marco, ti ripeto che questa cosa che scrivi è sbagliata. Dalla prima equazione non puoi dedurre che $x=1-y$.
Infatti, raccogliendo $2y$ nella prima equazione, risulta $2y (y+x-1) = 0$, e qui NON puoi dividere entrambi i membri per $2y$ (cioè "mandare via $2y$") ottenendo $y+x-1=0$ (che è quello che fai tu, a quanto capisco) perché appunto esiste un caso in cui non puoi dividere per $y$. E qual è questo caso? E' il caso in cui $y=0$.
[/quote]
No aspetta Martino io non è che raccolgo 2y e poi divido entrambi i membri togliendolo.
Io isolo $2xy$ e dividendo per $2y$ mi rimane $x=1-y$
Mentre se invece raccogliessi mi verrebbe più semplice impostare le due soluzioni come da te scritto
Non è che cambi molto ...
Quando dividi devi SEMPRE stare attento a non dividere per zero, sempre.
Martino ti ha indicato un paio di modi per bypassare il problema, per esempio basta distinguere i due casi $y=0$ oppure no.
Quando dividi devi SEMPRE stare attento a non dividere per zero, sempre.
Martino ti ha indicato un paio di modi per bypassare il problema, per esempio basta distinguere i due casi $y=0$ oppure no.
"axpgn":
Non è che cambi molto ...
Quando dividi devi SEMPRE stare attento a non dividere per zero, sempre.
Martino ti ha indicato un paio di modi per bypassare il problema, per esempio basta distinguere i due casi $y=0$ oppure no.
Eh hai ragione anche te…ok comunque è chiaro. Io personalmente vedevo a occhio la possibilità di quel punto perchè si annullavano tutte le variabili, ma così è sicuramente più corretto.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo