Check equazione esponenziale
Buongiorno,
Trovo complicazioni nel risolvere questa semplice equazione esponenziale.
Vorrei risolverla senza i logaritmi ma non mi sembra possibile
$12^(x-2)=2sqrt(3)$
$12^x/12^2=2sqrt(3)$
Moltiplico per 144 e scompongo la base dell’esponenziale
$4^x*3^x=288sqrt(3)$
Scompongo il 288
$4^x*3^x=2^5*3^2*sqrt(3)$
Divido tutto per $3^x$
$4^x=(2^5*3^2*sqrt(3))/3^x$
Divido per $2^5$
$4^x/2^5=3^(2+1/2-x)$
Potrei riscriverlo come $2^(2x-5)=3^(5/2-x)$
Il risultato dovrebbe essere $5/2$
Solitamente in questi esercizi si crea un’unico esponenziale, a destra ci sono i termini noti e si procede alla risoluzione. Ma qui mi sono imbarcato
Grazie mille
Trovo complicazioni nel risolvere questa semplice equazione esponenziale.
Vorrei risolverla senza i logaritmi ma non mi sembra possibile
$12^(x-2)=2sqrt(3)$
$12^x/12^2=2sqrt(3)$
Moltiplico per 144 e scompongo la base dell’esponenziale
$4^x*3^x=288sqrt(3)$
Scompongo il 288
$4^x*3^x=2^5*3^2*sqrt(3)$
Divido tutto per $3^x$
$4^x=(2^5*3^2*sqrt(3))/3^x$
Divido per $2^5$
$4^x/2^5=3^(2+1/2-x)$
Potrei riscriverlo come $2^(2x-5)=3^(5/2-x)$
Il risultato dovrebbe essere $5/2$
Solitamente in questi esercizi si crea un’unico esponenziale, a destra ci sono i termini noti e si procede alla risoluzione. Ma qui mi sono imbarcato
Grazie mille
Risposte
Ciaooooooooo!
Potresti provare a riscrivere tutto in forma esponenziale.
Ad esempio: $2\sqrt{3} = 2*3^(1/2)$
In modo analogo i termini al primo membro.
Potresti provare a riscrivere tutto in forma esponenziale.
Ad esempio: $2\sqrt{3} = 2*3^(1/2)$
In modo analogo i termini al primo membro.
Ciao Dadiv,ho provato a riscriverlo così ma non so come farlo
$4^x*3^x=4^3*3^(5/2)$
$(4^x/4^3)=3^(5/2-x)$
$4^(x-3)=3^(5/2-x)$
Ma poi mi fermo
$4^x*3^x=4^3*3^(5/2)$
$(4^x/4^3)=3^(5/2-x)$
$4^(x-3)=3^(5/2-x)$
Ma poi mi fermo
Prova a riscriverlo in modo tale da avere le stesse basi per gli esponenti da una parte e dall'altra.
Poi prova ad applicare questo teorema:
Teorema fondamentale dell'aritmetica
Ti suggerisce qualcosa?
Poi prova ad applicare questo teorema:
Teorema fondamentale dell'aritmetica
Ti suggerisce qualcosa?
Non riesco a leggerlo ho Adblock sul tablet altrimenti mi spamma pubblicità in ogni dove.
Tecnicamente stavo provando a fare cosi ma non si semplifica
Il $4^x$ ha la stessa base di $4^3$ ma poi non so che fare
Tecnicamente stavo provando a fare cosi ma non si semplifica
Il $4^x$ ha la stessa base di $4^3$ ma poi non so che fare
Diventa così $(2sqrt(3))^(2x-1)=(2sqrt(3))^4$ ... prova ad arrivarci ...
lo riporto io:
" stabilisce che ogni numero naturale $n>1$ o è un numero primo oppure si può scrivere come prodotto di numeri primi. Nel secondo caso la rappresentazione è unica a meno dell'ordine con cui compaiono i fattori."
Nel nostro caso è interessante la parte "...la rappresentazione è unica a meno dell'ordine.."
Esempio:$18=3^2*2$ ma è anche $18=2*3^2$ (a meno dell'ordine dice il teorema).
Partiamo quindi da questa uguaglianza: $3^2*2 = 2 * 3^2$ (valida per il teorema di cui sopra)
Notiamo una cosa, gli esponenti delle basi devono essere, a patto che le basi siano uguali, necessariamente gli stessi (perchè la rappresentazione è unica). Quindi l'esponente del $3$ a sinistra deve essere uguale a quello di destra. E così anche per l'esponente del numero $2$. Giusto?
Con quanto detto in mente modifichiamo gli esponenti in modo che l'uguaglianza non sia subito evidente:
$3^2*2 = 2 * 3^2$ da cui
$3^2*2 = \sqrt{4} * 3^2$ da cui
$3^2*2 = 2^(2*(1/2)) * 3^2$
per ora ho solo riscritto la stessa cosa in modo diverso. Ti trovi fin qui?
Per il ragionamento fatto prima gli esponenti devono essere uguali se entrambi i membri rappresentassero lo stesso numero.
Quindi gli esponenti dei due $2$ devono essere uguali.
Verifichiamo: $1 = 2*(1/2)$ da cui $1 = 1$.
In modo analogo possiamo effettuare la verifica per l'esponente dei due numeri $3$.
Tornando all'esercizio riscriviamo l'equazione in questo modo:
$(2^2*3)^(x-2)=2*\sqrt{3}$ da cui
$2^(2(x-2))*3^(x-2)=2*3^(1/2)$
Noti delle analogie con l'esempio fatto prima?
" stabilisce che ogni numero naturale $n>1$ o è un numero primo oppure si può scrivere come prodotto di numeri primi. Nel secondo caso la rappresentazione è unica a meno dell'ordine con cui compaiono i fattori."
Nel nostro caso è interessante la parte "...la rappresentazione è unica a meno dell'ordine.."
Esempio:$18=3^2*2$ ma è anche $18=2*3^2$ (a meno dell'ordine dice il teorema).
Partiamo quindi da questa uguaglianza: $3^2*2 = 2 * 3^2$ (valida per il teorema di cui sopra)
Notiamo una cosa, gli esponenti delle basi devono essere, a patto che le basi siano uguali, necessariamente gli stessi (perchè la rappresentazione è unica). Quindi l'esponente del $3$ a sinistra deve essere uguale a quello di destra. E così anche per l'esponente del numero $2$. Giusto?
Con quanto detto in mente modifichiamo gli esponenti in modo che l'uguaglianza non sia subito evidente:
$3^2*2 = 2 * 3^2$ da cui
$3^2*2 = \sqrt{4} * 3^2$ da cui
$3^2*2 = 2^(2*(1/2)) * 3^2$
per ora ho solo riscritto la stessa cosa in modo diverso. Ti trovi fin qui?
Per il ragionamento fatto prima gli esponenti devono essere uguali se entrambi i membri rappresentassero lo stesso numero.
Quindi gli esponenti dei due $2$ devono essere uguali.
Verifichiamo: $1 = 2*(1/2)$ da cui $1 = 1$.
In modo analogo possiamo effettuare la verifica per l'esponente dei due numeri $3$.
Tornando all'esercizio riscriviamo l'equazione in questo modo:
$(2^2*3)^(x-2)=2*\sqrt{3}$ da cui
$2^(2(x-2))*3^(x-2)=2*3^(1/2)$
Noti delle analogie con l'esempio fatto prima?
David scusa ma sotto il $12^2$ dove lo hai fatto scomparire?
Quale? L'equazione originale non è $12^(x-2)=2*\sqrt{3}$?
Sì sì hai ragione sono io che sono rincoglionito
"DavidGnomo":
Tornando all'esercizio riscriviamo l'equazione in questo modo:
$(2^2*3)^(x-2)=2*\sqrt{3}$ da cui
$2^(2(x-2))*3^(x-2)=2*3^(1/2)$
Noti delle analogie con l'esempio fatto prima?
Se gli esponenti devono essere uguali a coppie
Potrebbe essere $2^(2x-4)=2^1$
Alla fine è come impostare una proporzione , prodotto dei medi = prodotto estremi
"Marco1005":
....
Se gli esponenti devono essere uguali a coppie
Potrebbe essere $2^(2x-4)=2^1$
Yeaaaaaaaaaaa
Ma no, cosa dite? Non si può applicare il teorema fondamentale dell'aritmetica, perché gli esponenti non sono necessariamente interi.
@Marco
Lo hai letto questo messaggio
Lo hai letto questo messaggio
"axpgn":
Diventa così $(2sqrt(3))^(2x-1)=(2sqrt(3))^4$ ... prova ad arrivarci ...
"Martino":
Ma no, cosa dite? Non si può applicare il teorema fondamentale dell'aritmetica, perché gli esponenti non sono necessariamente interi.
Scusa Martino, il teorema ci garantisce che un numero maggiore di 1 può essere scritto sottoforma di prodotto di numeri primi. E la sua applicazione finisce qui.
Nell'esercizio, avendo il prodotto di due numeri primi uguali a destra e sinistra possiamo ipotizzare che per essere uguali i due termini, avendo le basi uguali, devono avere per forza gli esponenti rispettivamente uguali.
Sbaglio ad ipotizzare questa cosa? Grazie
$12^(x-2)=2*sqrt(3)$
$12^x=144*2*sqrt(3)$
$(3*4)^x=144*2*sqrt(3)$
$3^x*4^x=144*2*sqrt(3)$
$(sqrt(3))^(2x)*2^(2x)=144*2*sqrt(3)$
$(2*sqrt(3))^(2x)=144*2*sqrt(3)$
$((2*sqrt(3))^(2x)]/(2*sqrt(3))=144$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=144$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=144$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=2^4*3^2$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=2^4*(sqrt(3))^4$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=(2*sqrt(3))^4$
L'ho fatta lunga apposta
$12^x=144*2*sqrt(3)$
$(3*4)^x=144*2*sqrt(3)$
$3^x*4^x=144*2*sqrt(3)$
$(sqrt(3))^(2x)*2^(2x)=144*2*sqrt(3)$
$(2*sqrt(3))^(2x)=144*2*sqrt(3)$
$((2*sqrt(3))^(2x)]/(2*sqrt(3))=144$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=144$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=144$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=2^4*3^2$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=2^4*(sqrt(3))^4$
$(2*sqrt(3))^(2x-1)=(2*sqrt(3))^4$
L'ho fatta lunga apposta
"DavidGnomo":Certo. Ti faccio un esempio.
Sbaglio ad ipotizzare questa cosa?
$2^x 3^(x+1) = 2^(2x-1) 3^(x-1)$
Se uguagli gli esponenti di $2$ e gli esponenti di $3$ non ottieni nessuna soluzione (prova). Ma una soluzione c'è. E come si trova?
Raggruppando tutte le potenze di $2$ da una parte e le potenze di $3$ dall'altra, risulta $2^(x-1)=3^(2)$. Poi si scrive $3=2^(log_2(3))$ e si uguagliano gli esponenti. Si ottiene $x=1+2log_2(3)$.
@Martino però lui non voleva utilizzare i logaritmi mi sembra. Grazie per la risposta comunque ma mi sa che ho mandato fuori strada il povero Marco1005
Il metodo di DavidGnomo funziona però ha bisogno di alcune premesse, per esempio si deve essere sicuri che uno dei due membri sia intero (in questo caso lo è dato che abbiamo $144$ da solo da un lato); inoltre deve essere possibile isolare dall'altro membro uno dei fattori del membro intero.
P.S.: neanch'io ho utilizzato i logaritmi
P.S.: neanch'io ho utilizzato i logaritmi
Grazie mille a tutti.
Tutto chiaro. Alla fine devo sempre trasformare nella base più piccola disponibile.
Non avevo pensato di trasformare il 3 in radice di 3. Pirla io
Tutto chiaro. Alla fine devo sempre trasformare nella base più piccola disponibile.
Non avevo pensato di trasformare il 3 in radice di 3. Pirla io
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