Che proprietà è stata applicata?
Ciao a tutti! Sto cercando di seguire la soluzione del seguente limite $ Lim x->0, (x-x^(1/3))/(3sqrt(x)-2(x^(1/3))) $,
in particolare mi sfugge completamente questo passaggio relativo ad una parte del calcolo:
Presumo che prima elevi sotto e sopra alla 3°, ma poi perché applica la radice a tutto e moltiplica per la radice cubica di -1 al quadrato??
Grazie mille a chi mi dedicherà il suo tempo.
in particolare mi sfugge completamente questo passaggio relativo ad una parte del calcolo:
Presumo che prima elevi sotto e sopra alla 3°, ma poi perché applica la radice a tutto e moltiplica per la radice cubica di -1 al quadrato??
Grazie mille a chi mi dedicherà il suo tempo.
Risposte
Stai lavorando nei reali? O nei complessi?
Perché se stai lavorando nei reali quel $(-1)^(2/3)$ è inutile, si sa già che $x>0$ altrimenti la radice quadrata non esisterebbe ed è quindi inutile e furviante tenere conto del segno della $root(3)(x)$.
Perché se stai lavorando nei reali quel $(-1)^(2/3)$ è inutile, si sa già che $x>0$ altrimenti la radice quadrata non esisterebbe ed è quindi inutile e furviante tenere conto del segno della $root(3)(x)$.
Nei reali...
Ok ignoro allora quel passaggio. Posso invece avere un indizio sulla risoluzione? Devo fattorozzare inversamente ma come si fa essendo le radici di indice diverso
Ok ignoro allora quel passaggio. Posso invece avere un indizio sulla risoluzione? Devo fattorozzare inversamente ma come si fa essendo le radici di indice diverso
Mah... Passaggi inutili a go-go.
Tutto quello che dovresti sapere per risolvere l'esercizio è che, quando l'argomento tende a zero, conviene mettere in evidenza la potenza d'esponente più basso[nota]Al contrario, quando l'argomento tende ad infinito, conviene mettere in evidenza la potenza con esponente più alto.[/nota]: seguendo questo consiglio, hai:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^{1/3} (x^{2/3} - 1)}{x^{1/3} (3 x^{1/6} - 2)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2/3} - 1}{3 x^{1/6} - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\; .
\]
Tutto quello che dovresti sapere per risolvere l'esercizio è che, quando l'argomento tende a zero, conviene mettere in evidenza la potenza d'esponente più basso[nota]Al contrario, quando l'argomento tende ad infinito, conviene mettere in evidenza la potenza con esponente più alto.[/nota]: seguendo questo consiglio, hai:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^{1/3} (x^{2/3} - 1)}{x^{1/3} (3 x^{1/6} - 2)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2/3} - 1}{3 x^{1/6} - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\; .
\]
Ho risolto moltiplicando sopra e sotto per $ x^(2/3) $ , dopo ho riscritto tutte le radici con indice = 6, e una volta semplificato si vede che il limite tende a -1/2.
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