Cerco di ricostruire degli esempi

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Cerco di ricostruire tre esempio di dimostrazioni (e non dimostrazione) usando l'induzione che avevo visto molti anni fa (non ricordo più purtroppo ). Erano tre proposizioni $P(n)$ tipo: per ogni $n \geq n_0$ esiste $m$ tale che $xn +y = zm+w$ per qualche $x,y,z,w \in \mathbb{N}$ espliciti.

Da quel che ricordo:
1) Il primo era corretto (e qui vabbè ).

Gli altri invece non riesco a trovarli:
2) Il secondo era scorretto e il motivo era che non esisteva il caso base, però $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ era giusto.
3) Il terzo, il caso base c'era e $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ era logicamente giusto, ma era scorretto poiché l'errore era essenzialmente lo stesso dei "cavalli tutti dello stesso colore", ovvero di per se $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ è giusto assumendo implicitamente qualcosa su $n$ che $n_0$ non soddisfa, e sebbene $P(n_0)$ è vera abbiamo che $P(n_0+1)$ non è vera.

La cosa interessante era che il modo in cui si dimostrava $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ era essenzialmente lo stesso per tutte e tre le proposizioni solo che scegliendo $x,y,z,w$ opportunamente succedeva quanto detto sopra.

Qualcuno riesce ad aiutarmi a ricostruire gli esempi? Grazie

Ps: la mia memoria potrebbe essere sbagliata poiché sto parlando di 8 anni fa.