CdE Funzione arc-sin/cos/tg

[Mitchel]

Salve ragazzi. La prof di Mate ci ha spiegato che quando bisogna analizzare una funzione con arc-X è necessario tenere conto che si inverte il dominio con il codominio. Non capisco però come impostare nel sistema questo parametro per far sì che mi trovi con il risultato.
Potete aiutarmi? Posto 3 esempi.

Y= radicedi arcsen(x+1)

Y= arcsen lnx

Y= ln arcsenx

Grazie, e perdonatemi se non ho usato il "latex" (mi sembra si chiami così, ma proprio non sono riuscito!)

Aggiunto 3 ore 51 minuti più tardi:

Perfetto, mi è tutto chiaro tranne una cosa, forse una mia lacuna in trigonometria.
Perchè arcsen (x+1) > 0 equivale a dire arcsen (x+1) > arcsen 0 . E di qui x+1>0 ...

Grazie mille per la gentilezza e l'attenzione che dedicate in generale a noi studenti in difficoltà!!

[BIT5]

dunque:

la funzione arcoseno e' limitata da -1 (compreso) a +1 (compreso)

infatti trattandosi della funzione inversa del seno, devi "invertire" la funzione.

per poterla invertire, dal momento che si possono invertire solo le funzioni bigettive (che tra l'altro prevedono che per ogni y corrisponda un solo valore di x) dovrai considerare solo il pezzo di dominio compreso tra -pigreco/2 e +pigreco/2

Infatti prendendo tutta la funzione seno, avresti, ad esempio, che per y=0 hai x=0, x=pigreco, x=2pigreco ecc ecc.

La funzione arcoseno ha queste caratteristiche:

e' definita in

[math] \[-1,1 \] [/math]

E' postiva in

[math] (0,1 \] [/math]

negativa in

[math] \[-1,0) [/math]

e nulla per x=0

quindi:

la prima

[math] y= \sqrt{arcis (x+1)} [/math]

Radicando maggiore o uguale a zero:

[math] arcsin (x+1) \ge 0 \to \\ arcsin(x+1) \ge arcsin 0 \to x+1 \ge 0 \to x \ge -1 [/math]

Pertanto dovrai mettere a sistema la soluzione trovata con il dominio dell'arcoseno e avrai

[math] \{ -1 \le x+1 \le 1 \\ x \ge -1 [/math]

[math] \{ x \ge -1 \\ \{-1 \le x+1 \\ x+1 \le 1 [/math]

E dunque

[math] \{ x \ge -1 \\ \{x \ge -2 \\ x \le 0 [/math]

E dunque

[math] D= \[-1,0 \] [/math]

Secondo:

funzione di funzione:

argomento del log > 0
argomento dell'arcoseno compreso tra -1 e 1

Quindi

[math] \{ x>0 \\ -1 \le \log x \le 1 [/math]

e quindi

[math] \{x>0 \\ \{\log x \ge -1 \\ \log x \le 1 [/math]

[math] \{x>0 \\ \{ \log x \ge \log e^{-1} \\ \log x \le \log e^1 [/math]

E dunque

[math] \{ x>0 \\ \{ x \ge \frac{1}{e} \\ x \le e [/math]

E pertanto facendo il grafico del sistema

[math] \{ x>0 \\ \frac{1}{e} \le x \le e [/math]

Soluzione finale

[math] D= \[ \frac{1}{e},e \] [/math]

.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

La terza avrai

Argomento dell'arcoseno compreso tra -1 e 1
argomento del logaritmo > 0

Quindi

[math] \{ arcsin x > 0 \\ -1 \le x \le 1 [/math]

E dunque

[math] \{ x>0 \\ -1 \le x \le 1 [/math]

E dunque

[math] D= \[0,1 \] [/math]

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