Carnot vs Teorema dei seni

[Kirito3]

Sto cercando di risolvere un esercizio di fisica utilizzando il teorema di Carnot e quello dei seni, peccato che ottenga due risultati differenti xD
Problema: a=5,8 b=4 alfa=59 ?=c (alfa e' opposto ad a, beta e' opposto a b e gamma a c)
con Carnot:
[tex]\sqrt{5,8^2+4^2+2(5,8*4)*\cos59} = 8,56[/tex] dovrebbe essere c
con il teorema dei seni:
[tex]\frac{5,8}{\sin59}=\frac{4}{\sin\beta}[/tex] quindi [tex]\sin\beta=\frac{0,86*4}{5,8} = 0,58[/tex]
[tex]\arcsin0,58=35,45[/tex] e questo e' beta, ora [tex]180-35,45-59=85,5[/tex] questo e' gamma [tex]\sin85,5=0,997[/tex]
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}[/tex] quindi [tex]\frac{5,8*0,997}{0,86}=6,72[/tex] anche questo dovrebbe essere c

Potreste dirmi dove sbaglio?

[andar9896]

Sbagli ad applicare Carnot: per il teorema abbiamo che $5.8^2=4^2+c^2-2*4*c*cos59$

[Kirito3]

Da quello che avevo capito durante la lezione, [tex]\cos\gamma[/tex] e' uguale a[tex]-(-\cos\alpha)[/tex] da cui la versione di carnot che ho scritto. In caso contrario come farei ad applicare Carnot non conoscendo gamma (l'angolo opposto di c)?

[andar9896]

L'angolo $alpha$ non ha particolari caratteristiche dunque non possiamo individuare relazioni particolari se non $gamma+beta=180-alpha=121$. Non conoscendo $gamma$ dobbiamo necessariamente cambiare angolo, e in questo caso la nostra scelta ricade su $alpha$ perché noto.

[Kirito3]

Quindi in quale caso specifico posso applicare Carnot nella forma [tex]R=\sqrt{F1^2+F2^2+2(F1F2)\cos\alpha}[/tex]? Solo in presenza di un triangolo isoscele noto uno degli angoli uguali?
Sono decisamente confuso

[andar9896]

Prima del $2$ c'è un segno meno però Questa comunque è l'espressione generale del teorema, dove $alpha$ però non è un angolo qualsiasi ma l'angolo compreso tra $F_1$ e $F_2$.

[Kirito3]

Ho capito che nella versione generale di carnot c'e' un "-" Sto' cercando di capire perche' ci e' stato spiegato, e sul libro e' presente, una versione di canot scritta come l'ho scritta io ed in quali casi e' applicabile.
A questo link, verso la fine della pagina la trovi scritta come la stavo usando io anche se nemmeno li spiega in quali casi va usata in quella forma http://www.edutecnica.it/meccanica/compo/compo.htm

[andar9896]

Ti confesso che non ho mai visto il teorema sotto questa forma e non mi vengono in mente spiegazioni per quel $+$ a meno che non si usino ad es archi associati... attendiamo altri pareri

[andar9896]

Oppure uno tra $F_1$ e $F_2$ dovrebbe essere negativo, ma dubito...

[@melia]

https://www.matematicamente.it/formulari ... onometria/

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno

http://www.****.it/formulari/65-form ... arnot.html

http://www.massimopapa.com/lo/trigonome ... arnot.html

http://www****/matematica/teore ... ot-72.jspc

Sono i primi 5 link che ho trovato. Tutti riportano il teorema di Carnot con il segno meno davanti all'ultimo addendo. Forse hai sbagliato a copiare dalla lavagna?

[Kirito3]

No no e' riportato anke sul libro (anche se senza dimostrazione). Se ho capito bene gli appunti relativi alla dimostrazione il discorso e' questo:
Dati due lati (a, b) e l'angolo (alfa) tra essi compreso si disegna un parallelogramma, la diagonale (c) del parallelogramma e' anche il terzo lato dei due triangoli che si vengono a comporre. Per costruzione i triangoli sono congruenti e gli angoli tagliati dalla diagonale sono alterni interni congruenti. Considerando solo uno dei triangoli si nota che l'angolo alfa (del parallelogramma) e' congruente alla somma dei due angoli (del triangolo) adiacenti a c. Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180 e che ogni angolo esterno e' uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti ne consegue che alfa+beta(angolo opposto a c) e' 180 quindi
[tex]\cos\beta=-\cos\alpha[/tex] sostituendo questo al teorema di carnot: [tex]c=\sqrt{a^2+b^2-2(ab)(-\cos\alpha)}[/tex] si arriva a [tex]c=\sqrt{a^2+b^2+2(ab)\cos\alpha}[/tex]
Ammesso che abbia capito correttamente la dimostrazione e che sia riuscito a spiegarvela decentemente resta il fatto che l'esercizio eseguito con il teorema dei seni e con questa "versione" di carnot non danno il medesimo risultato

[andar9896]

"Kirito":... ne consegue che alfa+beta(angolo opposto a c) e' 180 quindi [tex]\cos\beta=-\cos\alpha[/tex]

Ti sei risposto da solo, si usa in questo caso qui Infatti, come sospettavo, usando gli archi associati $cos(pi-alpha)=-cos(alpha)$.

[Kirito3]

Ma questa condizione non si verifica sempre? Intendo, indipendentemente dalla lunghezza dei lati e dall'ampiezza di alfa, si puo' sempre costruire un parallelogramma la cui diagonale crea angoli alterni interni congruenti.

[@melia]

Hai fatto un casino che non ho capito niente, non capisco come costruisci il parallelogramma, non capisco perché l'angolo opposto a c viene chiamato $gamma$ nel primo messaggio e $alpha$ in quello appena sopra a questo.
In un triangolo gli angoli sono 3 e non due. La somma di due angoli non è mai 180, perché 180 è la somma dei 3 angoli interni, nel teorema di Carnot NON si usano angoli esterni.

Premesso tutto ciò, cosa vuoi che ti dica?
Usa il teorema dei seni, che è meglio, almeno hai la formula corretta e sembra che tu l'abbia capita correttamente (il risultato è giusto).

[Kirito3]

Si lo so, mi spiace, cercavo di mettere un po' di ordine ma essendo confuso sull'argomento ho finito per riversare la confusione nelle mie domande qui. Il primo era l'esercizio che mi ha portato i dubbi, quella che ho cercato di riportare sopra era la dimostrazione della variante di carnot, ecco perche' le variabili cambiano. Comunque fa nulla rimuovi pure il post che forse finisce per confondere e basta