Cardinalità dei numeri reali algebrici

[Damiano77]

Buongiorno!
Non ho ben chiaro come si possa dimostrare che l'insieme dei numeri algebrici sia numerabile. Un numero algebrico è il risultato di un'equazione a coefficienti interi. Quindi per dimostrare che i numeri algebrici sono numerabili bisognerebbe dimostrare che l'insieme di tali equazioni sia numerabile. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo

[@melia]

Non mi risulta che i numeri reali algebrici siano numerabili.

[otta96]

Ricordando che: (1) unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile, basta dimostrare che le equazioni di un certo grado sono numerabili, e questo lo si può fare per induzione, se il grado è 1, l'insieme delle equazioni è $uuu_{a in ZZ} {ax+b=0: b\inZZ}$, e per la (1) è numerabile, per le equazioni di grado $n+1$ L'insieme delle equazioni è $uuu_{a_(n+1) in ZZ} {a_(n+1)x^(n+1)+....+a_1x+a_0=0: a_i\inZZ, AA0<=i<= n}$ che per ipotesi induttiva sono insiemi numerabili, quindi di nuovo per la (1) è numerabile.
A questo punto l'insieme di tutte le equazioni è dato da $uuu_{n \inNN} {a_(n)x^(n)+....+a_1x+a_0=0: a_i\inZZ, AA0<=i<= n}$, quindi sempre per la (1) è numerabile.

[Damiano77]

Scusami ma non mi è ben chiaro

[mgrau]

Detto in soldoni (i puristi mi perdonino): i numeri algebrici sono in corrispondenza con le equazioni a coefficienti interi (n numeri per ogni equazione di grado n). Allora se l'insieme delle equazioni a coefficienti interi è numerabile (si può contare), anche quello dei numeri algebrici lo è. Ma un'equazione di grado n è rappresentabile con n+1 interi;
gli interi sono numerabili, quindi anche le n+1-uple di numeri, e le corrispondenti equazioni, lo sono

[Damiano77]

Grazie mille